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教：除了有悖论之外， 演绎逻辑还有其他问题或短处吗？ 李：有。具体地说，我认为，把演绎逻辑用于如下两类关系密切的情形时，有可能出错：①无穷或循环的情形，特别是包含自指时。②具有不可分离的多相本质的对象。此外还有一个问题：演绎逻辑不够切实。 庞加莱在其名著《科学与假设》中说，只有在无限面前时，矛盾律才会失效。前面在谈圈环之奇妙时说过，循环意味着无穷，会带来飞跃，演绎逻辑未必普遍适用于无穷的情形，真正的逻辑悖论离不开自指，自指是一种循环。“本句话为假”，就是一个依赖于自指的悖论。把演绎逻辑用于自指、闭环或无穷时，得格外小心，有可能出现著名哲学家、逻辑学家罗素所谓的“恶性循环”。数学直觉主义者也反对无限制地把演绎逻辑的某些部分，特别是排中律用于无穷集合，这与我“所见略同”。 数学和逻辑学是难兄难弟，数学比逻辑学更“胖”点，——内容更丰富。或者，按罗素的说法，逻辑学是数学的青年时代，而数学是逻辑学的中年时代。与数学一脉相通，形式逻辑也要求对象的纯一无歧性。“本句话为假”等依赖于自指的悖论，实质也源于这种二重性：话本身和话的含义。不少逻辑悖论就植根于逻辑对象具有难以合理分离的多重性，其中的一大类含有闭环自指。 教：您能不能举例说明一下？ 李：好的。以无穷级数求和为例。首先明确一点，级数求和的本质是级数总和到底是多大。早先说过，对于无穷级数，收敛= 单值。给定一个无穷级数，如果它是收敛的，即无论其部分和如何千姿百态，其总和唯一，所以它的本质是单相的；如果它是发散的，即它的总和不唯一，也就是它不同的部分和的极限可能不同，所以它的本质是多相的。如果对后者强行用逻辑，就会出错。只是在吸取了大量惨痛教训后，数学家才认识到不能把逻辑和数学用于发散级数。我想说的是，其根源在于发散级数有多相本质。 教：这个无穷级数的例子说明，逻辑的对象必须是概念明确的。这似乎是常识。 李：说来轻巧。事实是，在十八九世纪的一百多年间，包括欧拉等不少大数学家在无穷级数求和上一再“摔跟头”、“出丑”，直到黎曼才搞清。你以为他们没有你说的这些常识？他们对形式逻辑的把握不如常人？总之，在没有弄清对象是否具有多重本质之前，不该盲目地乱用逻辑，而该对逻辑在此可能出错保持警觉。问题是，逻辑的不少对象恐怕未必只有单相本质。这或者有可能导致错误，或者引出了在实践中“强拆硬分”这个弊端，前面针对数学说过。和数学一样， 逻辑的无歧纯一性要求强行分解有多相本质的整体， 比如前面说过的，一个无穷集合也具有二相性：既有潜无穷的过程性，又有实无穷的完成性。逻辑的这个弱点还加重了还原病。 人们常说，形式逻辑是正确思维的规律，是有效推理的法则。这种冠冕堂皇、似是而非之论充斥着逻辑学教科书。事实并非如此，其实， 形式逻辑未必切合实际。 这一点从古老而著名的“沙堆悖论”不难看出。给定一个事实“这是一堆沙”和定律“从一沙堆中取走一粒沙，剩下的依然是沙堆”。重复运用这一定律，最后一无所有或所剩无几，还是沙堆吗？此例挑战形式逻辑各个基本定律的现实性。多少沙粒的堆积才是沙堆？该例集中地体现了辩证法的重要法则之一“量变造成质变”——量变的积累会导致质变，而这一法则与形式逻辑在本质上是互斥的。究其根源，在应用形式逻辑时，一般需要先把实际情况“纯化、净化、抽象化、去现实化”。这也是应用形式逻辑的主要困难之一。 让我们考虑一个游戏。首先我们知道，在座的都是聪明人，假设大家的平均年龄是个未知数a。我们每人都给出它的一个估计。记第i个人的估计为ai,平均估计为ā = (a1+a2+…+aN)/N，N是总人数。游戏是：谁给出的aj最接近于(ā/2),谁就赢。假如我是一个纯数学家，我的估计会是0。你们知道为什么吗？ 学：不知道，这好像没道理。 李：作为纯数学家，我会这么推理：如果大家给出的估计都接近于实际平均年龄a，那么，在给出的估计aj中最小者得胜，因为它最接近于(ā/2)。但大家都不傻，肯定都会给小的估计值，因而(ā/2)就会比(a/2)小不少。有鉴于此，大家肯定会给出更小的估计值，因而(ā/2)就会更小。不断重复这个推理过程，其极限是0。 教：这似乎不妥，只要有人不像您这么想，您的估计值就太小了。 李：是啊。不仅如此，即使人人都像我这样想，大家的估计都是0，我也胜不了。不过，作为纯数学家，我追求精确严格解，而0是唯一的精确严格解。 学：那是迂腐，是犯傻，可以说是聪明过头后冒的傻气。 李：是啊，我举这个例子有几层用意。首先，很多实际问题没有精确严格解，过于追求精确严格会走火入魔。其次，这个例子中的问题貌似简单，其实很复杂，因为它牵涉到彼此的猜测，进而含有某种圈环。我在上面强调过，圈环的存在导致复杂。第三，精确严格解一般都是在一定假设条件下才成立，这些假设未必符合实际情况，不可对之视而不见。最后，应用形式逻辑和数学所需的“纯化、净化、抽象化、去现实化”，对于如此这般“貌似简单，实质复杂”的实际问题，实非易事。 |
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