2014中考数学一模精选

                                                                                     1（2011·苏州）巳知二次函数y=a（x²-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出OC，从而求出a．
（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．

解答：解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0，
解得x₁=2，x₂=4；
令x=0，解得y=8a，
∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
该抛物线对称轴为直线x=3，
∴OA=2，
如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，
由题意得：O′A=OA=2，
∴O′A=2AM，
∴∠O′AM=60°，
∴∠OAC=∠O′AC=60°，
∴OC=2

3

，即8a=2

3

，
∴a=

3

4

；

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立，
①如图②，设P是边EF上的任意一点，连接PM，
∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，
∴PB＜4，PC≥4，
∴PC＞PB，
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，
②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），
∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），
∴FB=3，GB=

10

，
∴3≤PB＜

10

，
∵PC≥4，
∴PC＞PB，
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，
如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB，
∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，
∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，-a），
点P的坐标是（3，t），
∴PC²=3²+（t-8a）²，PD²=（t+a）²，
由PC=PD得PC²=PD²，
∴3²+（t-8a）²=（t+a）²，
整理得：7a²-2ta+1=0有两个不相等的实数根，
∴a=

2t± 4t228

14

=

t± t27

7

，
∴a=

t+ t27

7

或a=

t t27

7

，
∵t＞3，
∴显然a=

t+ t27

7

或a=

t t27

7

，满足题意，
∴当t是一个大于3的常数时，存在两个正数a=

t+ t27

7

或a=

t t27

7

，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

点评：

本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．                                                  2（2012·湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y₁和过P、A两点的二次函数y₂的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

A． 5

B． 4 3 5

C．3

D．4

考点：二次函数的最值；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

专题：计算题；压轴题．

分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=

5

，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出

BF

DE

=

OF

OE

，

CM

DE

=

AM

AE

，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解答：解：
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=

1

2

OA=2，
由勾股定理得：DE=

5

，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴

BF

DE

=

OF

OE

，

CM

DE

=

AM

AE

，
∵AM=PM=

1

2

（OA-OP）=

1

2

（4-2x）=2-x，
即

BF

5

=

x

2

，

CM

5

=

2?x

2

，
解得：BF=

5

2

x，CM=

5

-

5

2

x，
∴BF+CM=

5

．
故选A．

点评：

本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．                         3．如图：A₁，B₁，C₁分别是BC，AC，AB的中点，A₂，B₂，C₂分别是B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中点…这样延续下去．已知△ABC的周长是1，△A₁B₁C₁的周长是L₁，△A₂B₂C₂的周长是L₂…A_nB_nC_n的周长是L_n，则L_n=

 

．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  考点：

三角形中位线定理．

专题：压轴题；规律型．

分析：利用三角形中位线定理得到各三角形周长与第一个三角形周长的关系．

解答：解：∵A₁B₁C₁分别是BC，AC，AB的中点．
∴△A₁B₁C₁的各边分别为△ABC各边的一半．△ABC的周长是1．
∴△A₁B₁C₁的周长=

1

2

，同理△A₂B₂C₂的周长=(

1

2

)2，那么A_nB_nC_n的周长是(

1

2

)n=

1

2n

．

点评：

此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和分析能力                                      4．建立平面直角坐标系（如图所示），OA=OB，点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止，同时点D自原点出发沿x轴正方向匀速运动，在点P、D运动的过程中，始终满足PO=PD，过点O、D向AB作垂线，垂足分别为点C、E，设OD的长为x
（1）求AP的长（用含x的代数式表示）
（2）在点P、D运动的过程中，线段PC与BE是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；
（3）设以点P、O、D、E为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             5．《天天伴我学数学》一道作业题．如图1：请你想办法求出五角星中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值．由于刚涉及到几何证明，很多学生不知道如何求出其结果．下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：①观察图象，各个角的度数能分别求出他们的度数吗，能的话怎么求，不能的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的度数．有个学生小声的说了句：要是能把这五个角放到一块就好了？老师回答：有想法，就去试试看．很快就有学生发现利用三角形外角性质将∠C和∠E；∠B和∠D分别用外角∠1和∠2表示．于是得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°．根据以上信息，亲爱的同学们，你能求出图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值吗？请给予证明．
                                                                                                                                                                                                               考点：

多边形内角与外角；三角形的外角性质．

专题：证明题；转化思想．

分析：根据三角形外角的性质可得，∠BQF=∠A+∠D+∠G，再根据五边形内角和解答即可．

解答：证明：如图，设AF与BG相交于点Q，则∠BQF=∠A+∠D+∠G，
于是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
=∠B+∠C+∠E+∠F+∠AQG
=∠B+∠C+∠E+∠F+∠BQF
=540°．

点评：

本题考查了三角形外角的性质和五边形内角和．利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到五边形中，利用五边形的内角和定理解答．                                                     6．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”  只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为

 

．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为

 

．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              考点：

二次函数综合题．

专题：代数几何综合题；压轴题．

分析：首先根据题意确定出A、B、D点的坐标．假设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．从图中可看到抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、D，联立组成方程组

ab+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝?3

，解得a、b、c的值，抛物线解析式即可确定．
首先根据M、半径确定出“蛋圆”半圆部分的解析式．再求得C点的坐标，根据C、M点坐标确定出直线CM的斜率，进而根据两直线垂直，斜率之积是-1．求得经过点C的“蛋圆”的切线的斜率，进而确定出切线的解析式．

解答：解：由题意得A（-1，0）、B（3，0）、D（0，-3）
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、D
∴可列出方程组

ab+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝?3

，
解得c=-3、a=1、b=-2，
该抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

∵半圆的圆心M（1，0），半径为2，
∴圆的解析式为半圆的解析式为（x-1）²+y²=4 （y≥0），
设点C的坐标为（0，k），
∵点C在半圆上，
∴1+k²=4，解得k=

3

即C点的坐标为（0，

3

），
则直线CM的解析式斜率为

3

，
因而过点C圆M切线的解析式斜率为

1

3

=

3

3

故经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为y-

3

=

3

3

(x0)，
即y=

3

3

x+

3

．

点评：

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式、直线解析式的确定、圆的切线问题．                                                                     7．如图，已知AB∥CD，∠A=α，∠C=β，∠ABC和∠CDA的平分线交于E₁，∠E₁BC和∠E₁DA的平分线交于E₂，∠E₂BC和∠E₂DA的平分线交于E₃，按如此方式继续下去…，用α，β的代数式表示∠BE_nD的度数为

 

．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  考点：

平行线的性质；三角形内角和定理．

专题：规律型．

分析：根据平行线的性质得∠ABC=β，∠ADC=α，再根据角平分线的定义得∠ABE₁=

1

2

β，∠ADE₁=

1

2

α，然后利用三角形内角和定理得到∠BE₁D+∠ADE₁=∠A+∠ABE₁，即∠BE₁D+

1

2

α=α+

1

2

β，则∠BE₁D=

1

2

（α+β），同理得∠BE₂D=

3

4

（α+β），∠BE₃D=

7

8

（α+β），再利用前面的结论可得到∠BE_nD=

2n1

2n

（α+β）．

解答：解：∵AB∥CD，∠A=α，∠C=β，
∴∠ABC=β，∠ADC=α，
∵∠ABC和∠CDA的平分线交于E₁，
∴∠ABE₁=

1

2

β，∠ADE₁=

1

2

α
∵∠BE₁D+∠ADE₁=∠A+∠ABE₁，即∠BE₁D+

1

2

α=α+

1

2

β，
∴∠BE₁D=

1

2

（α+β），
∵∠E₁BC和∠E₁DA的平分线交于E₂，
∴∠ABE₂=

3

4

β，∠ADE₂=

1

4

α，
∵∠BE₂D+∠ADE₂=∠A+∠ABE₂，即∠BE₁D+

1

4

α=α+

3

4

β，
∴∠BE₂D=

3

4

（α+β），
同理得∠BE₃D=

7

8

（α+β），
∴∠BE_nD=

2n1

2n

（α+β）．
故答案为

2n1

2n

（α+β）．

点评：

本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．                                                             8．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，
（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：

 

．
                 考点：

四边形综合题．

分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；
（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．
于是AP=DQ．又因为S_△ABC=

1

2

BC·AP，S_△DFC=

1

2

FC·DQ，所以S_△ABC=S_△DFC；
（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S_{阴影部分面积和}=3S_△ABC=3×

1

2

×3×4=18．

解答：（1）证明：在△ABC与△DFC中，
∵

AC＝DC ∠ACB＝∠DCF BC＝FC

，
∴△ABC≌△DFC．
∴△ABC与△DFC的面积相等；

（2）解：成立．理由如下：
如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，
∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠DCQ．
∴

∠APC＝∠DQC ∠ACP＝∠DCQ AC＝CD

，
△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
又∵S_△ABC=

1

2

BC·AP，S_△DFC=

1

2

FC·DQ，
∴S_△ABC=S_△DFC；    
     
（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，
若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，
∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．
∴S_{阴影部分面积和}=3S_△ABC=3×

1

2

×3×4=18．

点评：

本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．综合性较强．                         9．如图，?ABCD中，E、F分别为AD、BC上的点，且DE=2AE，BF=2FC，连接BE、AF交于点H，连接DF、CE交于点G，
则

S四边形EHFG

S平行四边形ABCD

=

 

．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

，                                                                                 10．如图，已知Rt△ABC的直角边AC=24，斜边AB=25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（　　）

A． 56 3

B．25

C． 112 3

D．56

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      11．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．
（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．
（2）引申：如果∠C≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=

 

度时，图中阴影部分的面积和有最大值是

 

．

                                                                                                         12．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A₁B₁C₁D₁；把正方形A₁B₁C₁D₁边长按原法延长一倍得到正方形A₂B₂C₂D₂；以此进行下去…，则正方形A_nB_nC_nD_n的面积为（　　）

A．（ 5 ）n

B．5n

C．5n-1

D．5n+1

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   考点：

正方形的性质．

专题：规律型．

分析：根据三角形的面积公式，可知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．

解答：解：如图，已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA₁D₁的面积=

1

2

×2AB×AB=AB²=1，
新正方形A₁B₁C₁D₁的面积是4×1+1=5，
从而正方形A₂B₂C₂D₂的面积为5×5=25，
以此进行下去…，
则正方形A_nB_nC_nD_n的面积为5ⁿ．
故选：5ⁿ．

点评：

此题考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，利用规律解决问题．            12．如图，已知抛物线y₁=-x²+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，4）；将抛物线y₁沿y轴翻折得到抛物线y₂且交x轴于点C．
（1）求直线AB与抛物线y₁的表达式；
（2）求抛物线y₂的表达式；
（3）点P是直线BC上方的抛物线y₂上的动点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于Q，以PQ为边作正方形PQMN；设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示PQ的长，并求出当m为何值时，正方形PQMN的周长最长；
（4）在满足第（3）问的前提下，当m=1时，若点E是抛物线y₁上的动点，点F是直线AB上的动点，是否存在点F，使得以PQ为边，点P、Q、E、F顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     13．如图，边长为1的两种正方形卡片如图①，卡片中的扇形半径均为1；图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案；若摆放这个图案共用两种卡片2015张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为

 

．（结果保留π）
                                30．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=

1

2

x²+bx-2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
                 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=

2

2

．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点A的坐标为

 

，直线l的解析式为

 

；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     15．如图，点A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n在射线OA上，点B₁，B₂，B₃，…，B_n-1在射线OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，△A₁A₂B₁，△A₂A₃B₂，…，△A_n-1A_nB_n-1为阴影三角形，若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1、4，则△A₁A₂B₁的面积为

 

；面积小于2011的阴影三角形共有

 

个．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   16．问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
问题探究：
（1）在旋转过程中，
①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为

 

（直接写出结论，不必证明）
（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
                               17．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线y=ax²+bx+c上有一点G，使得∠GAB=∠BCD，求点G的坐标；
（3）设△ABD的外接圆为⊙E，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是⊙E上异于A、B的任意一点，直线AP交l于点M，连接EM、PB．求tan∠MEB·tan∠PBA的值．
                                              18．如图，已知∠AOB=60°，在OA上取OA₁=1，过点A₁作A₁B₁⊥OA交OB于点B₁，过点B₁作B₁A₂⊥OB交OA于点A₂，过点A₂作A₂B₂⊥OA交OB于点B₂，过点B₂作B₂A₃⊥OB交OA于点A₃，…，按此作法继续下去，则OA₁₀的值是

 

．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          19   ．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A₀E₀D₀，当A₀D₀与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A₀E₀D₀与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B₁，E的对应点为E₁，设直线B₁E₁与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．3．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．                                                                                                                    20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．．