弗雷歇

弗雷歇
张奠宙 王善平
(华东师范大学)
　　弗雷歇，M．(Frechét，Maurice)1878年9月2日生于法国约讷省的马利尼；1973年6月4日卒于巴黎．数学．
　　弗雷歇的父亲是小学教师，在一所小规模的新教教会学校教课．他有六个孩子，弗雷歇排行第四．
　　当12岁的弗雷歇在布丰中学念书时，他的数学老师——一位比他大13岁的年青人——发现了他的数学才能．这位年青人极力劝说弗雷歇的双亲让他们的孩子从事数学工作，并且还常常为弗雷歇单独讲课，让他解决数学问题并给予必要的指导．这位年青人就是J．阿达玛(Hadamard)．弗雷歇常常以深切的感激之情回忆阿达玛对他的关心和帮助．
　　服完兵役以后，弗雷歇听从阿达玛的劝告进入著名的巴黎高等师范学校学习，并在那里获博士学位(1906)．
　　1910年，弗雷歇任普瓦捷大学力学教授，直到第一次世界大战爆发．战争期间，弗雷歇在前线呆了三年，开始是普通士兵，后来担任英国军队的翻译．战争结束后，弗雷歇来到斯特拉斯堡大学，任数学教授(1920—1927)．后来接受E．波莱尔(Borel)的邀请到著名的巴黎大学执教，先后担任概率计算讲师(1928—1933)，一般数学教授(1933—1935)，微积分计算教授(1935—1940)和概率计算教授(1940—1948)．
　　1956年，弗雷歇被选为法国科学院院士．在此以前，他已是波兰科学院院士(1929)和荷兰科学院院士(1950)．此外，他也是莫斯科数学学会等许多国内外著名科学学会的成员．
　　弗雷歇对数学最重要的贡献是创立抽象空间理论，为泛函分析和点集拓扑学奠定了基础．
　　“空间”一词，本来是人类对自己所生存的周围环境的称谓．由于现实的生存空间有前后、左右、上下三个自由度．故又称三维空间．选取了原点0之后，空间一点p可用三个实数的有序组(x，y，z)加以表征．由此，人们又把直线看作一维空间，平面看作二维空间．而A．爱因斯坦(Einstein)的相对论则要使用四维空间(x，y，z，t)，其中t表示时间．很自然，人们将(x1，…，xn)称为n维空间中的一点．弗雷歇的功绩是将空间的概念作了极大的推广．他大胆地采用了刚由G．康托尔(Cantor)创立起来的集合论思想，把“空间”看成具有某种结构的集合．从这个观点出发，许多数学问题实际上可归结为“空间”上的函数(泛函)或“空间”之间的映射(算子)的研究．这一想法，弗雷歇于1904年已经着手探讨(见原始文献[1])．1906年，他在博士论文“关于泛函演算若干问题”(Sur quelques pcincs du calcul fonctionnel，1906)中给出了完整的理论．
　　在这一工作中，给人印象最深的是距离空间理论．众所周知，现实空间中每两点A，B之间都有一个距离d(A，B)，这是一个非负实数．弗雷歇将它推广到一般的集合上，他给出如下定义：设D是非空集合，如果对D中任何两个元素A，B，都有一个实数d(A，B)与之对应，且满足
　　(a)d(A，B)=d(B，A)≥0，
　　(b)d(A，B)=0当且仅当A=B，
　　(c)d(A，B)+d(B，C)≥d(A，C)对D中任意的元素C都成立，
　　这时就称d(A，B)是A，B之间的距离(écart)，称D是距离空间．显然，现实的空间就是距离空间．弗雷歇还给出了两个很有用的抽象的距离空间的例子：
　　(1)区间[a，b]上的连续函数全体构成的空间C[a，b]，其中的距离定义为
 
　
　　(2)实数列全体构成的空间F，其中任意两点x=(x1，…，xn，…)和y=(y1，…，yn，…)之间的距离定义为
 
　
　　这一空间现称弗雷歇序列空间．
　　距离空间的概念成功地刻画了空间和距离的本质．自从非欧几何创立以来，人们对空间这个几乎和人类一起产生的古老的概念又有了新的认识．数学家的视野也开始从有限维的现实空间转向一般的抽象空间，数学研究的舞台获得前所未有的扩大．后人在评论泛函分析历史时，把弗雷歇的博士论文和I．弗雷德霍姆(Fredholm)的积分方程论文(1900)，H．勒贝格(Lebesgue)的积分论(1902)，D．希尔伯特(Hilbert)的谱论(1906)并列为四项奠基性工作(见研究文献[20]，p．97)．
　　弗雷歇的研究工作并没有停止在仅仅给出一些空间的定义上，而是深入研究这些空间的性质．他把有限维空间中的极限概念搬到抽象空间上来，定义了邻域、开集、闭集、闭包、极限点等概念，导致对空间的完备性、紧致性、可分性等性质的研究．这一部分后来成为点集拓扑学的基本内容．1914年，F．豪斯多夫(Hausdorff)出版《集论》(Grundzüge der Mengenlehre，Leipzig，1914)标志着点集拓扑学的产生，其中含有弗雷歇的大量工作．
　　值得指出的是，在20世纪的最初10年中，康托尔的集合论、勒贝格的积分论都尚未被当时的国际数学界广泛接受，许多数学家对“病态函数”、“怪异集合”持怀疑甚至厌恶态度，但弗雷歇坚定地支持这些工作，并通过自己的努力使集合论和积分论成为20世纪数学的两块重要基石．
　　勒贝格发表积分论以后仅仅5年，弗雷歇给出了勒贝格意义下的平方可积函数距离空间L2[a，b](1907)(见原始文献[3])：设f(x)和g(x)是L2[a，b]中的两个元素，它们之间的距离是
 
　
　　他还和E．施密特(Schmidt)同时指出L2[a，b]和序列的希尔伯特空间l2的类似性．几个月后，F．里斯(Riesz)把这种类似性表为定理，后来被称为里斯-费希尔(E．Fischer)定理．它表明L2[a，b]和l2在某种意义上是等价的．
　　同年，弗雷歇证明了，对于定义在L2[a，b]上的每一个连续线性泛函U，存在L2[a，b]中唯一的一个元素u(x)，使得对于L2[a，b]中每一个f(x)，都有
 
　
　　这是当今称为希尔伯特空间理论的基础．
　　1926年至1928年，弗雷歇汲取S．巴拿赫(Banach)等人的成果，进一步提出了一种线性距离空间，明确地把线性运算和距离结构协调起来(见原始文献[6]，[12])．这种空间现在称为弗雷歇空间．
　　设有一个非空集合E，在它上面有一个由加法和数乘运算确定的线性空间结构，并且有一个从E到实数空间的映射p，满足条件
　　A1 对任意的E中元素x，有
　　p(x)≥0并且p(x)=0当且仅当x=0，
　　A2 对任意的E中元素x，y，有
　　p(x+y)≤p(x)+p(y) (三角不等式)，
　　A3 对任意的E中元素x，xn，以及任意的实数a，an，有
　　 称p是准范，E被称为赋准范线性空间．对E中任意元素x，y，定义
d(x，y)=p(x-y)，
　　易见这正好是距离．在这个距离下E成为距离空间，如果E同时是完备的，就称E是弗雷歇空间．可以验证前面给出的两个例子C[a，b]和F都满足弗雷歇空间条件．在线性泛函分析中有广泛应用的巴拿赫空间，也就是完备赋范线性空间，是弗雷歇空间的特例．
　　在经典分析中，微分是个极其有用的概念，如何把这个概念推广到一般抽象空间上呢？这是一个难题，至今尚未最后解决．不过弗雷歇在这方面作了很好的工作．早在1914年，弗雷歇就给出了距离空间上泛函的可微性定义(见原始文献[7])．1925年，他把它推广到赋范线性空间 
f(x0+h)-f(x0)-Ah=ω(x0，h)，
　　其中ω(x0，h)满足
 　
　　 弗雷歇又把定义进一步严格化(见原始文献[9])．弗雷歇可微性概念有广泛应用，是现代非线性泛函理论的基本概念之一．
　　弗雷歇对泛函分析中的极值问题，抽象空间上的曲线、曲面和曲面面积问题也有研究．
　　在拓扑学中，除了前面提到的工作外，弗雷歇还对维数的定义作过研究．1909年，弗雷歇首先对维数给出定义：如果存在从拓扑空间E到拓扑空间F的某个子空间上的同胚映射，就称E的维数不大于F的维数．现在拓扑学中通常使用H．庞加莱(Poin- caré)于1912年提出，后经L．E．J．布劳威尔(Brower)等人修改，用递归方法给出的维数定义．但弗雷歇的定义简单明了，也是个很有价值的概念，后来弗雷歇在发展以他的维数定义为基础的维数理论方面做了一些工作(见原始文献[13])．
　　弗雷歇数学活动的另一个重要领域是概率统计理论，这方面的工作在他的整个数学工作中占有很大比重．早在20年代，他就开始用他所创造的泛函分析方法(他称之为“广义分析”方法)研究随机变量序列[xn]“概收敛”和“几乎处处收敛”的问题．他和别人合作解决了“矩收敛问题”(见研究文献[14])．30年代，他着重研究了“马尔科夫链”理论．另外，他对概率计算、概率应用、方差和协方差的定义问题，相关性问题、遍历理论、零概率事件的分类、抽象概率空间理论和随机曲线等都有研究．
　　在函数论和经典分析方面，弗雷歇也作过一些工作．
　　虽然弗雷歇以他在数学的抽象化、一般化方面的工作著称于世，但他对数学的看法却很实际．他认为数学不是一个纯粹的演绎科学；事实上，数学涉及四个阶段：1)系统地从经验中归纳，2)公理化、公式化，3)演绎，4)实验证实．所以，所有的数学都来自经验，一个与经验无关的公理系统只不过是场游戏，不是数学(见原始文献[11])．
　　在与国际数学家交往上，弗雷歇是位活跃人物，据说他几乎和20世纪每位大数学家都有通信来往(见研究文献[15])．
　　美国著名数学家、控制论创始人N．维纳(Wiener)在1920年写信给弗雷歇，希望成为他的学生，弗雷歇放弃去西班牙休假的机会，热情地邀请维纳来斯特拉斯堡一起工作．维纳在他的自传《我是一个数学家》(I am a mathematician，1956)中回忆道：“弗雷歇身材中等，留有小胡子，体格强健，行动敏捷．……．酷爱散步和旅行，我们相处得很好．”(见研究文献[18]，p．40．)维纳这时和弗雷歇同样对“公理化方法”感兴趣．正如弗雷歇引入“距离”三条公理一样，维纳也引入了“范数”的公理，这和波兰数学家巴拿赫几乎同时得到．当时弗雷歇曾为此欣喜不已，并在自己的工作中积极汲取了他们的成果(见前文所述)．
　　弗雷歇和与外界联系较少的苏联数学家也有十分友好的关系．H．H．鲁金(луэин)曾写信告诉他自己在解析理论(见研究文献[16])、射影集合方面的工作．п．C．亚历山德洛夫(Aлек-сандров)在一封信中向他讲述了п．C．乌雷松(урысон)被淹死的惨剧(见研究文献[17])．这种数学家之间的个人友谊对当时苏联的数学，尤其是拓扑学的飞速发展无疑有一定作用．
　　弗雷歇有两个中国学生．一个是关肇直，他是现代中国著名数学家，中国泛函分析学科的奠基人．另一个名叫樊 (Fan，Ky)，是美国的著名华裔数学家；弗雷歇与他合著《组合拓扑学导论》(Introduction à la topologie combinatoire，1946)，此书后来被翻译成英文(1967)和西班牙文(1967)．
　　阿达玛曾把弗雷歇的创造性工作与E．伽罗瓦(Galois)创立群论相提并论(见研究文献[14])，这一评价似乎有些太高了．但是弗雷歇有一点同伽罗瓦一样，他不仅为数学开拓了大片新领域，而且带来了数学方法的变革．他所参与创立的由“公理”确定出一般的抽象的数学结构，然后再逐步过渡到具体问题的“公理化方法”，现在已被广泛采用．这种方法对希尔伯特的形式主义和N．布尔巴基(Bourbaki)的结构主义的形成起着重要作用．
　　弗雷歇的成功决非偶然．一方面，康托尔的集合论和勒贝格的积分论为他提供了理想的工具；另一方面V．沃尔泰拉(Vo- lterra)、弗雷德霍姆、阿达玛等人在积分方程、微分方程和变分法方面的研究中已积累了大量的素材，为弗雷歇创立抽象空间理论作了充分准备；最后，自19世纪，B．柯西(Cauchy)、R．戴德金(Dedekind)等人完成数学的严密化工作，伽罗瓦创立群论和K．F．高斯(Gauss)等人创立非欧几何以来，探求一般性和统一性逐渐成为数学发展的一个重要方向，而弗雷歇顺应了这个发展．
　　正如维纳所指出的那样(见研究文献[18]p．33)，尽管弗雷歇的著作是“非常重要的”，但并没有象人们所期望的那样“成为数学的中心”，因为“它是按照抽象形式主义精神写的，这同任何深刻的物理应用根本对立”．维纳还说弗雷歇是当时法国在“公设主义”方面“无可争议的领袖，但现在看来他并非是“他那一代数学界的绝对领袖”．
　　弗雷歇的著作很多，较著名的有《抽象空间》(Les espaces ab-straits，1928)，《概率论现代理论研究》(Récherches théoriquesmodernes sur la theome des probabilities，1937—1938，两卷集)和《数学与具体》(Les mathématiques et le coneret，1955)等．