莱夫谢茨

莱夫谢茨
胡作玄
(中国科学院系统科学研究所)
　　莱夫谢茨，S．(Lefschetz，Solomon)，1884年9月3日生于俄国莫斯科；1972年10月5日卒于美国普林斯顿．数学．
　　莱夫谢茨出身于土耳其裔家庭，父亲是商人，由于长期在波斯(今伊朗)经商，决定把他的家庭安置在巴黎，所以他的子女从小在巴黎长大．莱夫谢茨的第一语言是法语，到十几岁时才学会俄语．他也会波斯语等稀有语种，后来更精通英语及西班牙语．他的基础教育都是在巴黎完成的．1902年进入巴黎中心学校学习，1905年毕业，获得“工艺制造工程师”学位．不久之后他移居美国，先在鲍尔温机车工厂(Baldwin Locomotive Works)工作，后转到匹兹堡的威思丁豪斯电力与制造公司(Westinghouse Electric andManufactnring Co．)工作，先任见习工程师，后任工程师．他在这家公司中工作很出色，但是1910年的一次事故，使他永远地失去了双手，这使他很有前途的工程师生涯嘎然而止．在医院治疗期间，他认识到“他的真正道路不是工程而是数学”．当然，对于身残的莱夫谢茨，从头攻读数学也不是轻而易举的事，而要取得像他那种成就更需要超人的毅力克服一个又一个几乎不可征服的困难．一开始，他先复习在巴黎中央学校听过的数学课．当时的两位教授——教分析的E．皮卡(Picard)和教分析力学的P．阿佩尔(Appell)早已是法国科学院院士，世界著名的数学大家．于是，他就攻读他们的著作，头等重要的是皮卡三大卷的《分析教程》(Traite d’Analyse)．1910年5月，他到马萨诸塞州沃尔斯特的克拉克大学去读研究生，这是一所成立不久的大学，有几位国外培养的数学家，据他讲“有一位一流的馆员L．N．威尔逊(Wilson)博士，以及管理完善的数学图书馆”．他正是利用这个条件完成他的数学进修的．1911年6月，他在W．E．斯托利(Story)指导下获得博士学位，论文题目为“具有给定奇点的轨迹的存在性”(Onthe existence of loci with given sinyularities)，后于1913年发表．
　　从1911年到1924年，莱夫谢茨在中西部两所大学中任教．在完全孤立的情形下，独立进行数学研究．他先在内布拉斯加大学任两年讲师，后转到堪萨斯大学任教，先后任讲师(1913—1916)，助理教授(1916—1919)，副教授(1919—1923)及教授(1923—1925)．这14年中他克服生理上的残疾，充满自信地钻研代数几何学，做出划时代的贡献．
　　1912年6月他获得美国国籍，次年，他娶A．B．海斯(Hayes)小姐为妻，他是在残废后不久在克拉克大学结识她的，那时他还带着他那粗糙的假肢．她是第一位在克拉克大学拿学位的女数学家，1911年6月，她获得硕士学位．没有她的帮助，他几乎难以克服工作、生活和旅行的重重困难．
　　1924年他出版了《位置分析与代数几何》(L’analyse situs etle géométrie algebrique)，收入著名的波莱尔(Borel)丛书．这个工作和他以前的成就给他带来国际声誉，他接到许多大学的访问邀请．1924年他接受普林斯顿大学的邀请，任一年的访问教授，年末他得到了大学的长期聘用，任副教授，1928年升为正教授．1932年他接替O．维布仑(Veblen)任范因(Fine)研究教授，一直到1953年退休．
　　在普林斯顿大学工作的30年不仅使他脱离开孤军奋战的境地，也使普林斯顿大学发展成一个国际性的数学中心，许多大数学家从这里毕业，或访问过这里，这里成了代数拓扑学的摇篮．
　　他到普林斯顿大学之后，他的研究方向逐步由代数几何学转向代数拓扑学．虽然他在代数几何学方面还有一些研究，特别是代数曲线的对应理论，并且在大学中不时开出代数几何学课程，还同代数几何学界保持密切接触，例如后来的代数几何的领袖人物O．查瑞斯基(Zariski)在1929—1937年间不断地往返于巴尔的摩[他当时在约翰斯·霍普金斯(Johns Hopkins)大学任教]与普林斯顿之间，向莱夫谢茨求教并同他讨论问题，得到他的热情鼓励与帮助，但是莱夫谢茨这时的主要研究方向，已转向代数拓扑学．在普林斯顿，两位拓扑学前辈同他过从密切，一是维布仑，一是J．W．亚历山大(Alexander)．他特别佩服亚历山大，在研究不动点理论及对偶定理方面两人有过频繁的讨论．不过亚历山大后来脱离开数学界深居简出，使得莱夫谢茨深为难过．实际上，从20年代末到40年代初，莱夫谢茨是美国代数拓扑学的主要传人，许多后来的大家出自他的名下．他的两本著作《拓扑学》(Topology，1930)和《代数拓扑学》(Algebraic topology，1942)是英语拓扑学文献中最主要的参考书，特别是后者在相当长的一段时期内是代数拓扑学的标准著作，并且是第一本以“代数拓扑学”命名的书．
　　1945年，他被任命为普林斯顿大学数学系主任，从此开始他的新的活动．1945/1946年度以及1947年他作为交换教授到国立墨西哥大学工作，其后他多次访问这里，特别是从普林斯顿大学退休之后．他的热情以及他的组织能力使得墨西哥从无到有建立起一个数学学派．为了表彰他对墨西哥数学的贡献，墨西哥政府授予他阿兹台克(Aztec)雄鹰奖章．
　　第二次世界大战期间，他曾任美国海军部的顾问，这时，他接触到苏联在非线性振动以及稳定性方面的研究工作，他马上认识到这些工作的重大意义．他知道J． H．庞加莱 (Poincaré)和A．M．李雅普诺夫工作在微分方程几何理论的重要性，看出这门学科在美国“太长时期受到忽视”．他不顾一些同事的劝阻(认为联邦政府的支持会危及学术研究的自由气氛)，毅然接受海军研究局的资助，于1946年在普林斯顿大学组织一个微分方程研究项目，它后来发展成为美国研究常微分方程的领导中心，他任这个项目的主任直到1953年退休．其后5年间，普林斯顿中心逐渐停止活动．他多次试图在另一所美国大学建立一个研究机构，但没有成功．他退休后，马丁公司在巴尔的摩建立一个高等研究院 (Research Institute for Advanced Studies， RIAS)，作为工业对基础研究的支持，他被任命为该院的顾问．1957年11月马丁公司总裁及董事会全权委托他在高等研究院建立一个微分方程研究中心，要求它成为“世界上这类中心的典范，”在莱夫谢茨的领导下，这个中心果然在微分方程及最优控制和稳定性的数学理论的研究方面获得国际声誉．1964年高等研究院的微分方程研究中心的主体部分搬迁到罗德岛普罗威登斯的布朗(Brown)大学，在其中应用数学部建立起莱夫谢茨动力系统中心．布朗大学聘请他为访问教授．从1964—1970年6年间，他每周乘飞机往返于普林斯顿及普洛威登斯，在布朗大学讲课，指导研究，培养出许多后起之秀．
　　在这期间他以非凡的热情和努力，集结一批年轻数学家研究和开拓动力系统、控制理论等新方向．他还组织翻译苏联的著作，讲课、写综述及评论并组织会议．虽然他的工作由于这些领域的飞速发展现在看来已经落后，但正是他奠定了美国的研究基础，使美国从60年代末在动力系统理论以及从60年代初起在控制理论方面在世界居于领先地位．
　　由于他在数学创造以及教育、组织方面的工作，他在美国国内外享有崇高的荣誉．早在1925年他就被选为美国国家科学院院士，1935—1936年被选为美国数学会主席．1964年被美国总统约翰逊授予国家科学奖章．他被授予布拉格大学、巴黎大学、普林斯顿大学、布朗大学和克拉克大学的名誉博士学位，还被选为法国巴黎科学院、西班牙马德里科学院、意大利米兰的伦巴底科学院国外院士以及英国伦敦皇家学会国外会员和伦敦数学会荣誉会员，这些都是一位科学家所能取得的最高国际荣誉．为了表扬他的贡献，1954年在普林斯顿大学召开庆祝莱夫谢茨70寿辰代数几何学和拓扑学国际会议，1984年在墨西哥召开纪念莱夫谢茨百年诞辰大会，世界上上百位数学家参加了大会．
　　莱夫谢茨的数学研究工作大致可分为多少重叠的三个时期：(1)代数几何学，1911—1929年；(2)代数拓扑学，1923—1942年；(3)微分方程、动力系统及控制论，1943—1972年．
　　1．代数几何学
　　代数几何学主要研究一个或多个复数系数多项式的零点——代数簇的性质．早期主要是作为复变函数论的一部分——代数函数论来研究的．
　　近代代数几何学来源于B．黎曼(Riemann)的工作，其后，沿着多个不同的方向，特别是分析(也称超越)方向、几何方向以及算术-代数方向发展．19，20世纪之交，两个方向成为莱夫谢茨的代数几何的思想来源：一个是皮卡为主的分析方向；另一个是以G．卡斯特努沃(Costelnuovo)、F．恩瑞克斯(Enriques)以及F．塞韦里(Severi)为首的意大利代数几何学派所代表的几何方向．皮卡在1883—1906年主要研究代数曲面上的单积分与二重积分，另外庞加莱也做出自己的贡献，他们把黎曼的研究由复代数曲线f(x，y)=0推广到复代数曲面f(x，y，z)=0及至更高维代数簇上(这里的f均表示多项式)．但是，黎曼深刻发现与复代数曲线相联系的黎曼面及其基本的拓扑结构，而他们的工作却很少相应的拓扑，因为当时的组合拓扑学还处于萌芽阶段．意大利几何学家用的是较不严格的直观方法，他们是用线性系及连续系(今称代数系)的语言来表述的，塞韦里证明代数曲面的曲线的参模具有一个基，它由ρ个有效曲线C1，C2，…，Cρ构成，其他任何曲线C都和它们代数相关，即
 
　
　　其中λ1，λ2，…，λρ为整数，λ≠0．这里的ρ后来称为皮卡数．
　　莱夫谢茨对代数几何学一开始主要研究外在的几何学，1915年以后，转向内在的几何学，用拓扑方法证明并推广了以前的结果．他的一系列著作的顶峰是1921年发表的论文“论代数簇的某些数值不变量及其在阿贝尔簇上的应用，”(On certain numericalinvariants of algebraic varieties with applications to Abelianvarieties)后来扩大成专著《位置分析及代数几何学》[2]．由于其划时代的重要性，1921年发表的论文荣获巴黎科学院1919年度设立的波尔丁(Bordin)奖以及1924年度美国数学会博歇奖．
　　他所解决的主要问题是决定n维非奇异代数簇Vn上的各种独立的亚纯p阶微分形式的数目(这些一般是双有理不变量)并得出这些数目与Vn的拓扑不变量，特别是整数系数同调群的贝蒂(Betti)数的关系．据他后来回忆，当时的n维代数簇是射影空间Sn+k中几个复超曲面的不可约交截，其中Vn没有奇点，因此Vn是紧的实2n维流形．
　　古典的代数几何学讨论代数曲线的黎曼曲面上的阿贝尔积分，其后，黎曼研究阿贝尔微分，并分成三类，他证明复域上线性独立的全纯微分(第一类阿贝尔微分)的数目等于曲线的亏格(拓扑不变量)．莱夫谢茨把这种亚纯微分形式推广到Vn上的p阶微分形式，也分成三类，第一类在Vn上处处全纯，第二类在Vn上有有限多极点，第三类有对数型极点．一个p阶微分形式ωp称为封闭的，如dωp=0；ωp称为正合的，如果ωp=dw′p-1，这里ω′p-1是p-1阶微分形式．两个p-1阶微分形式称为等价，如它们相差一个正合微分形式．这样，所有相互等价的p阶封闭的微分形式构成一个复向量空间W，问题是求W的维数．
　　对于代数曲面V2上的微分形式，皮卡与庞加莱已证明第一类封闭微 则数．而莱夫谢茨不仅直接从拓扑方法出发证明上述结果，还得出他在代数曲面上的主要结果——第二类封闭微分形式构成ρ0维空间，且
ρ0=R2-ρ．
　　其中R2是2维贝蒂数，ρ为独立的代数2-闭链的数目，即皮卡数．
　　莱夫谢茨不仅搞清楚代数曲面的双有理不变量与拓扑不变量的关系，还把结果推广到一般代数簇．他得出：对于Vn中超曲面，在Vn中代数等价与同调是等价关系．
　　对于一般代数簇Vn的拓扑，他得出一般结果：对于代数簇Vn，所有奇维贝蒂数均为偶数，且对于2≤p≤n，有Rp≥Rρ-2．
　　由此，他推出许多经典的结果．例如，不是所有紧、可定向4维流形都是代数曲面．另外他还完整地证明了M．诺特(Noet-her)定理：三维复射影空间中d≥4次一般型代数曲面上每条代数曲线均为该曲面与另一曲面的完全交截．
　　莱夫谢茨对阿贝尔簇有许多研究，特别是提出决定黎曼矩阵的所有复数乘法的方案，这后来为A．A．阿尔伯特(Albert)用代数方法完全解决．但莱夫谢茨的一些结果很重要，如在一个阿贝尔簇上，一闭链可用代数曲线表示当且仅当第一类二重积分在其上具有零周期，这导致他对于皮卡的消没闭涟(vanishing cyc- le)的推广，设V是n维非奇异连通代数簇，W为V由一般超平面H构成的截面，则有下列两定理成立：(1)弱莱夫谢茨定理：对于0≤i≤n-2，自然同态H2n-i(V，C)→H2n-I-2(W，C)是同构，且对于0≤i≤n<>-1，H2n-i(V，W，C)=0．(2)强莱夫谢茨定理：设ξ是对应超平面截面W的H2n-I-2(V，Q)的上同调类，L是由ξ的上积所定义的同态，则对于i≤n，Ln-i：Hi(V，C)→H2n-i(V，C)是同构．莱夫谢茨的证明是不完全的，完全的证明后来由W．V．D．浩治(Hodge)给出，把系数由通常上同调推广到l-adic上同调对于魏伊(Well)猜想的证明是至关重要的．
　　最后，他对于代数簇的对应理论有重大发展，他不仅证明A．胡尔维茨(Hurwitz)代数曲线的对应的基本定理，而且推广到高维．这个方向引导他到一般的交截理论，开辟了他在代数拓扑学的研究方向．
　　2．代数拓扑学
　　莱夫谢茨是通过代数簇的对应理论经由不动点理论进入纯代数拓扑学的．他的研究，除来自意大利几何学家对代数对应的研究之外，还有拓扑学家的工作．不动点定理首先是荷兰数学家L．E．J．布劳威尔(Brouwer)提出的，他研究n维胞腔或n维球面到自身映射的不动点，另外，美国拓扑学家亚历山大研究过2维流形的拓扑映射，他的工作就是对这些结果进行大规模的漂亮的推广，推广的重要一步是把代数的交截理论转换成拓扑的交截理论．一开始他在定向封闭流形上考虑，1923年他已经得到可定向封闭流形上连续自映射的不动点定理，设f为定向封闭流形X到自身连续映射，对每一维n，f诱导X的有理系数R的同调群Hn(x)的自同态fn，由于这时Hn(x)是R上向量空间，如果fn的秩有限，可以算出fn的矩阵表示的迹Tr(fn)．定义f莱夫谢茨数L(f)为
 
　
　　莱夫谢茨证明，L(f)是整数，且如L(f)≠0，则f至少有一个不动点．
　　其后莱夫谢茨对他的不动点定理进行一系列推广，先是推广到有边界流形(1926)，在H．霍普夫(Hopf)推广到n维复形的特殊情形(1928)之后，莱夫谢茨又在1930年推广到具有有限贝蒂数的有限维紧度量空间，在1933年对有限维复形给出简单而漂亮的证明，最后他推广到所谓广义流形及局部连通空间．
　　以不动点定理为中心，莱夫谢茨把代数拓扑学推进到一个新阶段．对于交截、乘积和上同调，对于对偶定理、相对同调和奇异同调以及局部连通集都做出系统的发展．
　　原始的莱夫谢茨不动点定理不能包括布劳威尔不动点定理．为了把不动点定理推广到有边界流形(相对流形)，他引入了相对同调群，并把庞加莱对偶定理推广到相对情形，得出莱夫谢茨对偶1374 定理．这不仅是一种推广，而且把以前两个互不相关的庞加莱对偶定理和亚力山大对偶定理统一在一起．
　　为了进一步推广到复合形，他在1930年引进伪闭链(pseudo-cycle)，这是上闭链的一种形式，还得出伪同调群．这实际上是原始的上同调群．但他没有进一步考虑环结构及其拓扑不变性，在1935—1939年，上同调环的概念成熟之后，他在《代数拓扑学》一书中把他的交截理论翻译成上同调的语言．
　　莱夫谢茨在1925—1935年完成的从组合位置分析到代数拓扑学过渡的另一项工作是与其他人一起把数值的拓扑不变量扩展为同调群，以及引进整系数，模p系数，有理系数的同调群，特别是在《拓扑学》(1930)中首先正式定义奇异同调群的概念，它具有许多优越性．
　　不动点定理在数学中占有重要地位，它在无穷维空间被推广成为分析的重要工具，M．F阿蒂亚(Atiyah)及R．鲍特(Bott)把莱夫谢茨不动点定理推广到椭圆复形．江泽涵和姜伯驹等对不动点理论亦有重大发展．
　　3．微分方程与控制理论
　　莱夫谢茨的主要贡献是运用代数几何学及拓扑学思想于微分方程及控制理论方面．他研究在孤立奇点附近解析微分方程解的行为，运用代数曲线论对于在孤立临界点附近二维方程组的所有通过该临界点的解曲线，给出完全的刻画以及具体的构造步骤，从而大大改进了经典的I．本迪克逊(Bendixson)的工作．对于二维解析方程组孤立奇点的线性变分方程的系数矩阵，如果两特征根为0但不恒等于0，他证明最多只有一个卵形轨道套；对于n维方程组，当孤立平衡点的线性变分方程组中系数矩阵的特征根有n个为0时，讨论了稳定性问题；对于二阶及高阶非线性微分方程组，讨论了周期解的存在性．他的重要专著《微分方程几何理论》(Differential equations：Geometric theory)，是这方面的系统总结．