2012年中考数学《第26章圆》大题训练
1.（2012浙江丽水）如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
（2012福建莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
(1)求证：CG是⊙O的切线；(2)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．
（2012福建南平）如图，直线l与⊙O交于C、D两点，且与半径OA垂直，垂足为H，已知OD=2，∠O=60°，（1）求CD的长；（2）在OD的延长线上取一点B，连接AB、AD，若AD=BD，求证：AB是⊙O的切线．
（2012湖南永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）cos∠BAC的值．
（2012四川广元）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=3，∠ABE=60°，①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。
6.（2012四川巴中）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O
上一点，且∠AED=45°。（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。
（2012四川自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
8.（2012辽宁鞍山）如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=，延长OE到点F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半径；（2）求证：BF是⊙O的切线．
9.（2012辽宁本溪）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8。以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE。（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）过D点作DF∥BC交⊙O与点F，求线段DF的长。
（2012辽宁朝阳）如图已知P为⊙O外一点。PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧上任意一点（不与A、B重合），连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC。
（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为，求弦AB的长。
（2012辽宁丹东）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作
⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点，且，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系,并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．
12.（2012辽宁锦州）如图：在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D做直线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E.（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若cos∠BAC=，⊙O的半径为6，求线段CD的长.
13.（2012辽宁铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB.连接AD.（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=,求△CBD的面积.
（2012贵州毕节）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠F=，AE=4，求⊙O的半径和AC的长。（2012贵州黔南）已知，如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的的延长线上，
∠BCD=∠A。（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点C作CE⊥AB于E。若CE=2，，求AD的长。
16.（2012山东德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求线段AF的长．
17.（2012山东济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．
（2012山东临沂）如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．
19.（2012山东烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．
20.（2012广西）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．
21.（2012甘肃兰州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若tanC＝，DE＝2，求AD的长．
（2012陕西省）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．
23.（2012贵州铜仁）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．
24.（2012山东聊城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．
1)证明：连接OD，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB∠DBH，
∵ODOB，∴∠ODB∠OBD∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH．
2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BGCG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝．
证明：(1)如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900。∵在Rt△DCF中，DG＝FG，∴CG＝DG＝FG。∴∠CFG＝∠FCG。
又∵∠CFG＝∠AFE，∴∠FCG＝∠AFE。∵OA＝OC，∴∠EAF＝∠OCA。
又∵DE⊥AB，∴∠EAF＋∠AFE＝90°。∴∠OCA＋∠FCG＝90°，即∠GCO=90°。
又∵OC是⊙O的半径，∴CG为⊙O的切线。
(2)∵DG＝FG，∴。∵DC＝CB，∴，∴。
又∵，∴。∴AF＝FC。
又∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线。∴OF∥BC。
（1）解：∵OA⊥CD，∴H为CD的中点，即CH=DH。
在Rt△OHD中，∠O=60°，∴∠ODH=30°。又OD=2，∴OH=OD=1。
根据勾股定理得：。∴CD=2HD=。
（2）证明：∵OA=OD，∠O=60°，∴△AOD为等边三角形。∴OD=AD。∴∠OAD=∠ODA。
又∵AD=DB，∴∠DAB=∠DBA。
∴∠OAD+∠ODA+∠DAB+∠DBA=2（∠ODA+∠DAB）=180°，
∴∠ODA+∠DAB=90°，即∠OAB=90°。又∵OA是⊙O的半径，∴AB为圆O的切线。
解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴CA⊥PA，即∠PAC=90°。
∵PC=10，PA=6，∴由勾股定理得。∴OA=AC=4。∴⊙O的半径为4。
（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠ABC=∠PAC=90°。
∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°。∴∠BAC=∠P。
在Rt△PAC中，，∴cos∠BAC=。
解：（1）证明：连接OE。
∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。
∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。
（2）①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。
∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。∴∠DAE=∠EAO=30°。
∵AB=3，∴在Rt△ABE中，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，AE=，∴。
②∵∠EAO=∠AEO=30°，∴。
∵OA=OB，∴。∴。
解：（1）连接BD，OD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°。
∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。
∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。
又∵DC∥AB，∴OD⊥DC，∴CD与⊙O相切。
（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，则AF=AE=×10=5。
∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。
∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。
在Rt△AOF中，sin∠AOF=，
∴sin∠ADE=sin∠AOF=。
解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP。∴∠BAP=90°。又∵AB=2，∠P=30°，∴AP=。
（2）证明：如图，连接OC，OD．AC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。∴∠ACP=90°。
又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
在△OAD和△OCD中，∵OA=OC，OD=DD，AD=CD，∴△OAD≌△OCD（SSS）。
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）。
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP。∴∠OAD=90°。
∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线。
解：（1）如图，连接OA，∵直径CE⊥AB，∴AD=BD=2，。
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，又∵∠AOB=2∠ACB，∴∠BOE=∠ACB。又∵cos∠ACB=，∴cos∠BOD=，
在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，
∵OD2+BD2=OB2，∴x2+22=（3x）2，解得x=。
∴OB=3x=，即⊙O的半径为。
（2）证明：∵FE=2OE，∴OF=3OE=。∴。
又∵，∴。
又∵∠BOF=∠DOB，∴△OBF∽△ODB。∴∠OBF=∠ODB=90°。
∵OB是半径，∴BF是⊙O的切线。
解：（1）如图，连接OB、OE。在△ABO和△EBO中，
∵AB=BE(已知)，BO=BO(公共边)，OA=OE(圆的半径)，
∴△ABO≌△EBO（SSS）。
∴∠BAO=∠BEO（全等三角形的对应角相等）。
又∵BE是⊙O的切线，∴OE⊥BC。∴∠BEO=90°，
∴∠BAO=90°，即AB⊥AD。∴AB是⊙O的切线。
（2）∵AD=10，DC=8，∴OE=5，OC=13，∴根据勾股定理，EC=12。设DF交OE于点G。
∵DF∥BC（已知），∴∠OGD=∠OEC=90°（两直线平行，同位角相等）。
∴OG⊥DF。∴FD=2DG（垂径定理）。
∵DF∥BC，∴△OGD∽△OEC。∴，即∴DG=。∴DF=。
解：（1）证明：如图，连接OA，OB，
∵AP为圆O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°。
在△OAP和△OBP中，
∵AP=BP(已知)，OA=OB(半径相等)，OP=OP(公共边)，
∴△OAP≌△OBP（SSS）。∴∠OAP=∠OBP=90°。
∴OB⊥BP，即BP为圆O的切线。
（2）延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，
∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°。
∵∠AEB和∠ACB都对，∴∠AEB=∠ACB。∴。
设AB=2x，则AE=3x，在Rt△AEB中，BE=，根据勾股定理得：。
解得：x=2或x=－2（舍去）。∴AB=2x=4。
解：（1）OB=BP。理由如下：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°。∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°。∴∠COP=60°。∴∠P=30°。在Rt△OCP中，OC=OP=OB=BP。
（2）由（1）得OB=OP。∵⊙O的半径是2，∴AP=3OB=3×2=6。
∵，∴∠CAD=∠BAC=30°。∴∠BAD=60°。
∵∠P=30°，∴∠E=90°。在Rt△AEP中，AE=AP=×6=3。
解：（1）证明：连接BD、OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵BA=BC，∴D为AC中点。∵O是AB中点，∴OD为△ABC的中位线。
∴OD∥BC。∴∠BFE=∠ODE。∵DE⊥BC，∴∠BFE=90°。∴∠ODE=90°。∴OD⊥DE。∴直线DE是⊙O的切线。
（2）∵⊙O的半径为6，∴AB=12。
在Rt△ABD中，∵cos∠BAC=，∴AD=4。
由(1)知BD是△ABC的中线，∴CD=AD=4。
解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°。
∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°，即∠ABF=90°。
∴AB⊥EF。∴EF是⊙O的切线。
（2）作BG⊥CD，垂足是G，
在Rt△ABD中，∵AB=10，sin∠DAB=，
∴BD=6。∴根据勾股定理得AD=8。∴tan∠DAB=。
∵点C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°。∴BG=DG=BDsin45°=。
∵∠DAB=∠DCB，∴tan∠DCB=。∴CG=。
∴CD=CG+DG=。∴S△CBD=CD?BG=。
（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，∴∠BOD=∠A。∴OD∥AC。
∵EF⊥AC，∴∠E=90°。∴∠ODF=90°。∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F=，AE=4，
∴。设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．
在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，∴OF=3OD=3R。
∵OF+OA=AF，∴3R+R=12，∴R=3。连接BC，则∠ACB=90°。
∵∠E=90°，∴BC∥EF。∴AC：AE=AB：AF。
∴AC：4=2R：4R，∴AC=2。∴⊙O的半径为3，AC的长为2。
解：（1）证明：连接CO，∵AB是⊙O直径，∴∠ACO+∠OCB=90°。
∵AO=CO，∴∠ACO=∠A。
∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°。
∴OC⊥CD。又∵OC是⊙O半径，∴CD为⊙O的切线。
（2）∵OC⊥CD于C，∴∠COD+∠D=90°。
∵CE⊥AB于E，∴∠COD+∠OCE=90°。∴∠OCE=∠D。
∴cos∠OCE=cosD。
在△OCE中，∠OEC=90°，∴cos∠OCE=。
∵，CE=2，∴。∴CO=。∴⊙O的半径为。
在△OCD中，∠OCD=90°，。∴设CD=4k，OD=5k。
根据勾股定理，得，即，解得（已舍负值）。
∴OD=。AD=
解：（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴。∴点A是的中点。
∴OA⊥BE。又∵AG∥BE，∴OA⊥AG。∴AG与⊙O相切。
（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°。
又∵OA=OB，∴△ABO为正三角形。
又∵AD⊥OB，OB=1，∴BD=OD=，AD=。又∵∠EBC=∠EOC=30°，
在Rt△FBD中，FD=BD?tan∠EBC=BD?tan30°=。
∴AF=AD﹣DF=。答：AF的长是。
解：（1）猜想：OD∥BC，CD=BC。证明如下：
∵OD⊥AC，∴AD=DC。∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB。
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD=BC。
（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E。
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴，∴∠AOE=∠COE。
在△OAP和△OCP中，∵OA=OC，∠AOE=∠COE，OP=OP，
∴△OAP≌△OCP（SAS）。∴∠OCP=∠OAP。
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°。∴∠OCP=90°，即OC⊥PC。∴PC是⊙O的切线。
（1）证明：连接OA。∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°。
又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°。∴∠AOP=60°。
∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°。∴∠OAP=90°。∴OA⊥AP。∴AP是⊙O的切线。
（2）解：连接AD。
∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°。∴AD=AC?tan30°=3×。
∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°。∴∠P=∠PAD。∴PD=AD=。
（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC。
∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF。
∴OC∥AF。∴CF⊥OC。∴CF是⊙O的切线。
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°。
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE。∴△ABC∽△CBE。
∴。∴。
（1）证明：如图，连接OD，
∵AD为∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD。又OA=OD，∴∠BAD=∠ODA。∴∠CAD=∠ODA。
∴AC∥OD。∴∠E+∠EDO=180°。又AE⊥ED，即∠E=90°，∴∠EDO=90°。∴OD为圆O的切线。
（2）解：如图，连接BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。
在Rt△AED中，AE=4，AD=5，∴。
又∵∠EAD=∠DAB，在Rt△ABD中，∴。
∴，即圆的直径为。
解：（1）DE与⊙O相切。理由如下：
连接OD，BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°。
∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝CE。∴∠EDB＝∠EBD。
∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB。
∴∠EDO＝∠EBO＝90°。∴DE与⊙O相切。
（2）∵tanC＝，∴可设BD＝x，CD＝2x。
∵在Rt△BCD中，BC＝2DE＝4，BD2＋CD2＝BC2
∴(x)2＋(2x)2＝16，解得：x＝(负值舍去)。∴BD＝x＝。
∵∠ABD＝∠C，∴tan∠ABD＝tanC。∴AD＝BD＝。答：AD的长是。
22.解：（1）证明：如图，连接OA，则OA⊥AP．
∵MN⊥AP，∴MN∥OA．∵OM∥AP，∴四边形ANMO是矩形。∴OM=AN。
（2）连接OB，则OB⊥BP。∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP，
∴OB=MN，∠OMB=∠NPM。∴Rt△OBM≌Rt△MNP（AAS）。∴OM=MP。设OM=x，则NP=9－x。在Rt△MNP中，有，解得x=5，即OM=5。
解：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴BF⊥AB。∵CD⊥AB，∴CD∥BF。
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。
∵⊙O的半径5，∴AB=10。∵∠BAD=∠BCD，∴cos∠BAD=cos∠BCD=。
∴AD=AB?cos∠BAD=10×=8。∴线段AD的长为8。
解：（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线。理由如下：
连接AP。
∵AB=AC，∴。
又∵，∴。∴PA是⊙O的直径。
∵，∴∠1=∠2。
又∵AB=AC，∴PA⊥BC。
又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切线。
（2）连接OB，设PA交BC于点E。．
由垂径定理，得BE=BC=6。
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。
设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8﹣r）2，解得r=。
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。
又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，
∴，即，解得：。
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