全面提取数学信息，正确解答数学问题
——数学问题中提供信息的主要形式
山东沂南教育局276399李树臣
【中学数学杂志2014第12期】
解答数学问题的第一步就是认真审题，在理解题意的前提下，从中获取尽可能多的信息。由于一些同学不能顺利的从题目中全面获取信息，特别是不能获取一些隐含的信息，而这些信息是解决问题的关键因素，所以对问题不能顺利解决。为帮助老师们有效的指导学生解题，实现《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标2011年版》）提出的“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”的总目标，笔者经过归纳、总结出以下几种常见的给出信息的主要形式（结合2014年的中考题加以分析）：
1语言文字型
语言文字型是指问题中的主要信息是用语言文字叙述的方式给出的，对于这样的问题只要认真分析题意，从中获取有关信息，就能顺利解答。
例1（2014年北京市）、小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费
析解燃油汽车纯电动车A地到B地，A地到B地设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费x元，依题意，得解得x=答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费(2014年江苏徐州)、几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数
析：设票价为x元，根据小伙伴的人数不变，方程，解得x=60，则小伙伴的人数为答：小伙伴们的人数为8人(2014年山东省东营市)、将自然数按以下规律排列：
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行1451617…
第二行23615…
第三行98714…
第四行10111213…
第五行…表中数2在第二行，第一列，与有序数对（21）对应；数5与（13）对应；数14与（34）对应；根据这一规律，数2014对应的有序数对为45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为（45，12）故答案为：（45，12）点评此题主要考查数字的规律，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键
3表格信息型
表格信息型是指问题中的数据信息是用表格的形式呈现出来的。这类问题具有文字语言少、信息容量大、易发现等特点。解答时需要仔细观察表格中的数据，反复思考隐含在其中的规律，才能从中获取关键信息。
例4（2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x -1 0 1 3 y -1 3 5 3 下列结论：
（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小（3）3是方程ax2+（b1）x+c=0的一个根；（4）当1＜x＜3时，ax2+（b1）x+c＞0其中正确的个数为（）A.4个B3个C2个D1个
析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=15，由图表中数据得出：x=1时，y=5最大，二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，ac＜0，故（1）正确；二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；x=3时，y=3，9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；∵x=1时，ax2+bx+c=1，∴x=1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当1＜x＜3时，ax2=（b1）x+c＞0，故（4）正确故选B
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=15是关键的一步。
4图形（象）型
所谓图形（图象）型的问题，是指问题中的主要信息隐含在图形（图象）中，解答时，要通过观察图形（图象）发现这些信息，再利用数学方法才能解决。
例5（2014宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用a、b的代数式表示）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，列出方程组，所以图2中的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积。
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，关键（2014广西贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）
析解：本题给定的信息全部由图象给出，让学生解答的问题也是由图象给出的。解答的关键是根据图象判定出a，b，c的符号。根据抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线的对称轴为直线x=＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限故选B点评本题考查了二次函数，一次函数反比例函数图象二次函数的图象a＞0，b＜0，c＜0上海市y（0C）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系。现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图4），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度。
水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（0C） 35.0 … 40.0 42.0
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数析解：设y关于x的函数关系式为y=kx+b，统计表y与x之间的数据建立方程组，解得：，∴y=x+29.75；（2）当x=6.2时，代入（1）的解析式y=×6.2+29.75=37.5。
答：此时体温计的读数为37.5℃．
y与x之间是一次函数本题y与x之间是一次函数关系，从表格中可知二者之间的具体对应关系，由此可列出方程组，从而确定待定系数，可以说只有准确把握并合理利用文字和表格提供的信息，才能顺利解答本题。
例（2014泰州）如图，平面直角坐标系中，一次函数y=x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方
（1）若直线AB与有两个交点F、G①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由（1）①连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，
∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°②如图，作OM⊥AB点M，连接OF，OM⊥AB及直线的函数式为y=x+b可得OM所在的直线函数式为y=x，点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∴FM2=OF2-OM2=42-（b）2（b）2，∴FG2=4FM2=4×[42-（b）2（b）2]=64b2=64×（1b2），∵直线AB与有两个交点F、G∴4≤b＜5
（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°OP所在的直线为y=x，AB所在的直线为y=x+5，P（，）本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时的关系OP与AB的交点，这时用方程的方法确定交点。得到证明。这是同学们感到困难的地方，也是平时教学中容易忽视的地方。教师应加强这方面的训练，努力改进学生的学习方式。
解答数学问题，重要的是获取有关的信息，明确给出信息的主要形式，然后针对具体问题，能顺利的把文字、图象、图表等信息找出来，结合有关的数学知识就能通过合理构建数学模型达到解决问题的目的。为此，数学教学应按照《课标2011年版》提出的“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”的原则，精心创设问题情境，合理选择提供数学信息的形式。
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图4
过两天就是儿童节了，那时候
来看这场演出，票价会打六折，
我们每人一张票，还能剩72元钱呢!
A
图1
图2
b
a
图7
图6
图8
图3
D
C
B
图5
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