三角形中位线定理目录1定理编辑2证明编辑如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号) ∴△ADE≌△CGE (A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二:相似法: ∵D是AB中点 ∴AD:AB=1:2 ∵E是AC中点 ∴AE:AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三:坐标法: 设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2) 这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2 最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法4: 延长DE到点G,使EG=DE,连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理编辑逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。 证明:∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∴AD=AB/2,AE=AC/2,即D是AB中点,E是AC中点。 逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。 如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2 证明:取AC中点E',连接DE',则有 AD=BD,AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC ∴DE和DE'重合(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行) ∴E是中点,DE=BC/2 注意:在三角形内部,经过一边中点,且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线! 如图,在△ABC中,D是AB中点,E在AC上,DE=BC/2,那么DE不一定是△ABC的中位线。理由如下: 以D为圆心,DE为半径作圆,设⊙D与AC交于另一点E',则有DE'=DE=BC/2,但DE'不是三角形的中位线。 但在一定条件下该命题是真命题,即当DE>AD,即BC>AB时,命题为真。根据正弦定理可知,当DE>AD(BC>AB)时,⊙D与AC的交点有且只有一个。 |
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