绵阳市高2012级第次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准
①当即时，
即．
②当即时，此时.
将，代入检验正确二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．-13．14．15．①③
15．提示：③法一：和是(-1，1)上的使，
令，，
即时；时．
所以．
法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点，当直线和圆在的竖直距离为．
④若与是上的，
．
令，则在递增，
∴；
令，，易得在递减，∴，∴．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：(Ⅰ)为所选取的人中没有1人为“满意观众”，
∴P(A)=1-P()=1-=1-=，
即至少有1人为“满意观众”的概率为．………………………………4分
(Ⅱ)由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为，即从观看此影片的“满意观众”的概率为，同理，不是“满意观众”的概率为．…6分
由题意有ξ=0，1，2，3，则
P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，
ξ 0 1 2 3 P P(ξ=3)==，
∴ξ的分布列为
……………………………………………………………10分
∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=2．………………………12分17．解(Ⅰ)如图，连结AC、BD交于O，连结OE．
由ABCD是正方形，易得O为AC的中点，从而OE为△PAC的中位线，
∴EO//PA．
∵EO面EBD，PA面EBD，
∴PA//面EBD．………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由已知PD⊥底面ABCD，得PD⊥ADPD⊥CD．
如图，以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系．
设AD=2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，=(2，2，-2)，(2，0，0)．…………………………………6分
设F(x0，y0，z0)，，则由=(x0，y0，z0-2)，
得(x0，y0，z0-2)=λ(2，2，-2)
于是F(2λ，2λ，2-2λ)．
∴=(2λ，2λ-1，1-2λ)．
又EF⊥PB，
∴，解得．
∴，．………………………………………8分
设平面即令z=1，得n1=(0，-2，1)．
又平面PAD的一个法向量为二面角的平面角为θθ=，
即二面角的弦值为18．解(Ⅰ)由余弦定理，
则(Ⅱ)由A+B+C=π有C=π-(A+B)，
于是由已知sinB+sinC=得，
即，
将，代入整理得．①………7分
根据，可得．
代入①中，整理得8sin2B-4sinB+5=0，
解得．……………………………………………………………10分
∴由正弦定理．………………12分
19．解(Ⅰ)∵二次函数x=，
∴an≠0，，整理得，………………………2分
左右两边同时乘以，得，即(常数)，
∴是以2为首项，
∴．……………………………………………………………5分
(Ⅱ)∵，①
，②
①-②得，
整理得．…………………………………………………………8分
∵=>0，
∴数列{Sn}是单调递增数列．………………………………………………10分
∴要使Sn<3成立，即使<3，整理得n+2>，
∴n=1，2，3．………………………………………………………………12分
20．解)设椭圆的标准方程为，焦点坐标为(c，0)，
由题知：结合a2=b2+c2，解得．………………………………………4分
(Ⅱ)设
消去得，x1x2=．①………………………7分
又轴上可转化为，
整理得：．…………………………………………10分
将①代入可得，……12分
∴，
消去参数得，即H点恒在直线上．………13分21．解：(Ⅰ)，x∈(0，+∞)，………………………1分
∴a=2时，=0，
∴解得x=，x=-1(舍)．
即的极值点为x0=．……………………………………………………3分
(Ⅱ)．
（1）时在上是减函数，在上是增函数时Δ=1+4a，
（2）若1+4a0，即时，ax2+x-1<0，而x>0，故<0，
∴在(0，+∞)上是减函数．
（3）若1+4a>0，即a>时，ax2+x-1=0的根为，
①若a<0>>0，
∴当x∈(，)时，ax2+x-1>0，即>0，得是增函数；
当x∈，(，+∞)时，ax2+x-1<0，即<0，得是减函数．
②若a0，<0<，
∴当x∈(0，)时，ax2+x-1<0，即<0，得是减函数；
当x∈(，+∞)时，ax2+x-1>0，即>0得是增函数．
∴综上所述，时在上是减函数，在上是增函数时，在(0，+∞)上是减函数；
当
当a>0时，在(，+∞)上是增函数，在(0，)上是减函数．…………………………………………………………………………7分
(Ⅲ)令，x>0，
于是．
令，则>0，
即p(x)在(0，+∞)上是增函数．
∵p(x)=-(a+1)<0，而当x→+∞时，p(x)→+∞，
∴x0∈(0，+∞)，使得p(x0)=0．
∴当x∈(0，x0)时，p(x)<0，即<0，此时，h(x)单调递减；
?当x∈(x0，+∞)时，p(x)>0，即>0，此时，h(x)单调递增，
∴=．①
由p(x0)=0可得，整理得，②…………10分
代入①中，得=，
由x∈(0，+∞)，恒有≥，转化为≥0，③
因为a>0，③式可化为≥0，整理得≤0，
解得≤x0≤1．
再由x0>0，于是0
由②可得．=，则根据p(x)的单调性易得在是增函数，
∴<≤，
即0<≤e，
解得a≥，即a的最小值为．……………………………………14分
B
A
C
P
D
E
F
O
x
y
z
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