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信号处理、系统设计是现代工程中最常用的手段。很多同学都很困惑，系统与信号之间是什么关系？为什么我们需要那么多的变换？诸如傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换、离散傅里叶变换、z变换？这些变换之间都有什么关系？我们如何设计适合我们要求的滤波器？模拟系统与离散的数字系统之间是什么关系？其实这些问题在我们本科的教科书《信号与系统》、《数字信号处理》中都有论述，只不过，我个人认为，现在的教科书把简单的问题复杂化了。并没有把信号、系统、各个变换之间内在的关系和本质揭示出来，导致同学们不能在工程中灵活的运用所学到的知识。要想了解这一切，我们先从系统说起。 1. 线性系统 信号是对物理现象的描述，物理现象随着时间的变化轨迹称为信号。而产生信号的物理本源称为系统。我们人类对于自然界系统的认识是非常肤浅的，我们仅限于对线性系统的掌握和理解。什么是线性系统呢？一句话，就是具有齐次性和可叠加性的系统。齐次性：假设系统的输入信号为x时，输出为y，如果a为常数，那么输入为ax，输出就是ay；叠加性：假设系统的输入为x1时，输出为y1，输入为x2时输出为y2，那么输入为x1+x2时，输出就是y1+y2。 用数学表示就很方便了，假设系统的输入信号为x1时，输出为y1，输入为x2时，输出为y2，那么存在任意常数a和b，当输入为ax1+bx2时，输出为ay1+by2. 2. 线性系统的数学描述 信号是系统的物理现象，是由系统产生的。但系统不会无缘无故产生信号，因此必须有激励，系统才能产生出响应。无论激励还是响应都是物理现象，因此都是信号。只不过一个是因，一个是果。因此前者称为输入信号，后者称为输出信号。对于一个系统来说，通常响应不止一个。 2.1 微分方程的描述 在现代控制理论中，我们通常把观测的信号称为输出，而系统中反映系统属性的响应信号又称为系统的状态。输出是状态的线性组合，反映的是系统的状态。描述一个系统最原始的方法就是建立该系统的微分方程，因为只有微分方程才能反映系统状态随时间的变化。 例如一个机械系统，如图1所示，一个弹簧吊着一个铁块。如果用力拽一下铁块，铁块就会上下振动。弹簧的长度、铁块的位置、铁块的运动速度等，包括重力、拽铁块的力等物理现象随时间的变化轨迹都是信号。前者三者反映了系统的属性，所以又称为状态。输入信号或者激励就是施加的外力，输出信号可以是任意一个状态（取决于你观测什么），也可以是若干状态的线性组合。 描述这个系统的微分方程其实就是牛顿定律： 再比如一个电路系统，如图2所示。 这个系统中，激励是电源，各个元件的电流电压都称为状态，输出是状态的线性组合。这个系统的描述也是一个二阶微分方程： 用微分方程来描述一个系统的动态特性，是描述系统的最基本的数学方法。但是这个方法最大的缺点就是输入输出关系并不是显式的关系。即我们希望能够知道输出y和输出x的关系，最好是y=f(x)。对于线性系统，我们的确可以表示出系统的输入输出关系的显式表达式，即冲击响应表示。 2.2 冲击响应描述系统（电路中学过） 冲击响应，顾名思义就是激励是冲击信号时，系统的响应（输出）。那么什么是冲击信号呢？理想的冲击信号在实际中是不存在的，工程师和数学家对冲击信号的定义不同，但它们的属性相同，只不过数学家定义的冲击函数更加的严谨。工程师定义的冲击信号为：一个无穷窄，幅值无穷大的矩形函数（脉冲），就是冲击函数，用数学表达式表示就是，一个宽度为a，高度为1/a的矩形函数，当宽度a趋近零时，就是冲击函数。 其波形如下图 定义这个函数的好处是什么呢？定义了这个冲击函数后，任何一个信号e(t)都可以用一组冲击函数的平移线性的叠加表示： 上式的物理含义其实就是用阶梯函数去逼近一个函数，如下图所示。 假设已知系统的冲击响应是h(t)，即系统的输入是冲击信号时，输出是h(t)。那么信号e(t)是若干冲击信号的线性组合，根据线性系统的齐次性和可叠加性，输出为： 上述运算称为“卷积分”。可以看出，输出信号是输入信号和冲击响应的卷积分。这样，线性系统的输出和输入信号之间就存在一个显式的关系： 因此，系统的冲击响应可以表征该系统的特性。但是冲击响应的表达还是不是很清楚，毕竟卷积分运算不同于乘法和除法，其物理意义还是不明显。于是就出现了Fourier变换、Laplace变换等。当把信号变换到频域后，系统输入输出的关系就变得更加的明确了。 Fourier变换是从哪里来的？傅里叶变换和卷积分又有什么关系？请看下集。 |
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来自： 联合参谋学院 > 《电子、电路、通信》
