一道新生入学考试题引发的思考

本文发表于《数学教学》2015年第1期

 

一道新生入学考试题引发的思考

201203   华东师范大学第二附属中学   任念兵

 

       笔者所在学校高一新生入学时一般都有分班考试，每年的数学试题中都有不少亮点.近年考过一道颇有韵味的证明题，学生的证法可谓精彩纷呈.本文将对这些证法做些点评，并由此谈谈笔者的一些思考.

     1.   题目   

       求证：任意两个实数之间一定能找到无理数.

       此题的背景是实数中的稠密性问题，“任意两个实数之间存在有理数，任意两个实数之间存在无理数”，即下面的两个命题^[1]：

    4.   思考

思考一：关于英才教育

近来年，数学英才教育缺失的问题已经引起了一些数学家和数学教育家的关注.数学英才教育将是未来十年中国数学教育的一个重要研究课题^[2].而英才教育的前提是探明学情，进而因材施教，探索适合优秀学生的教育方法和途径.稠密性是实数理论中的重要问题，既可以通过初等化改编为测试题了解学生的数学素养和发展水平；又可以作为激发学生兴趣、进行深入探索的良好素材，是数学英才教育中极具有使用价值的优质问题.从上述证法中不难发现，部分优秀学生实际上已经具备了良好的数学素养，能够像数学家那样思考.因此优质问题对于数学英才教育而言，既是探明学情的工具，也是提升素养的支架.

思考二：关于学习评价

高考既是选拔优秀人才的途径，也是检验学生高中阶段学习效果的手段.高三毕业生与高一新生相比，除了知识面的扩大以外，对于数学思想的理解和数学方法的掌握是否真的更深刻、更全面呢？笔者以为在高考中设置一些入口宽、知识起点低的问题，就是一个值得尝试的策略.尤其是像本文所讨论的试题这样数学发展史中的本源性问题，更是值得改编和利用的素材.

思考三：关于解题教学

数学教学很大程度上是以解题教学的形式呈现的，数学知识、方法和思想都是通过解题过程不断渗透的，因此解什么题就是教学中的一大关键.毋庸讳言，目前中学数学教学中充斥着各种人为编造的应用题、故意刁难学生的陷阱题、偏离数学本质的繁难题，这对于学生数学素养的提升绝对是弊远大于利的.本文所讨论的试题，来源于经典的“稠密性”问题，是数学发展史中曾经一度困扰人们的难题，这类问题的解决是人类智慧的体现.在教学中引导学生朝解决此类问题的方向思考，是对他们理性思维能力的良好锻炼；而出自学生之手的、思维含量高的各种证法的呈现，必将给学生心灵以强烈的震撼.

 

参考文献：

1.  刘芬，冯铮铮.由2010年上海春季高考题所想到的[J]. 数学教学2010(8):43-44

2.  吴颖康. “未来十年中国数学教育展望”学术研讨会纪要[J]. 数学教学2013(7)：封二