第八讲非负数
所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．
1
a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．
2
a是实数，则
`
3
4
(1)(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则
a1a2＋…＋an≥0．
(3)a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0．
在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．
(4)(除数不为零)仍为非负数．
(5)
(6)ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．
应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．
a=3，b=-2．代入代数式得
(20x-3)2为非负数，所以
-(20x-3)2≤0．①
-(20x-3)20．②
-(20x-3)2=0．所以
=｜｜20±0｜＋20｜=40．
a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．
3已知x，y为实数，且
x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有
a2+b2-4a-2b+5=0，所以
a2-4a+4+b2-2b+1=0，
(a-2)2+(b-1)2=0．
(a-2)2=0(b-1)2=0．
a=2，b=1．所以
5已知x，y为实数，求
u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3x，y的值．
u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3
=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2
=(x-y+1)2+(2x-y)2+2
x，y为实数，所以
(x-y+1)20，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当
u有最小值2，此时x=1，y=2．
6确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．
a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0
即
(ax-1)2+x2+a2+3=0
x，均有
(ax-1)20，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故
(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0
7求方程的实数根．
8已知方程组
x1，x2，…，xn的值．
x1=x2=…=xn=0是方程组的解．
x1，x2，…，xn中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=xn=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，xn≠0时，将原方程组化为
n个方程相加得
xi为实数，所以
9求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．
a，b为非负整数，所以
解得
10当a，b为何值时，方程
x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0
0，即
=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)
=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8
=-8a2-16ab-16b2+8a-40，
所以
2a2-4ab-4b2+2a-10，
-a2+2a-1-a2-4ab-4b20，
-(a-1)2-(a+2b)20．
(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以
11已知实数a，b，c，r，p满足
pr＞1，pc-2b+ra=0，
ax2+2bx+c=0必有实数根．
2b=pc+ra，所以
=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac
=p2c2+2pcra+r2a2-4ac
=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac
=(pc-ra)2+4ac(pr-1)pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．
12对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．
(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)
=2x2-3x+2
(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)0，
3x2+2x-1＞x2+5x-3．
13已知a，b，c为实数，设
A，B，C中至少有一个值大于零．
A+B+C
=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+-3
=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(-3)．
(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．
A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．
14已知a≥0，b≥0，求证：
a≥0，b≥0，所以
所以原不等式成立．
15四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式
a4+b4+c4+d4=4abcd，
试判断四边形的形状．
a4+b4+c4+d4-4abcd=0
所以
(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．
a，b，c，d都是实数，所以
(a2-b2)20，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，
所以
a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四边形为菱形．
练习八
1x，y的值：
4x，y，z满足条件
5a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，
6k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．
为数学加分
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