2015届安徽省皖南八校高三联考
理科数学试卷
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是
A.B.C.D.
2.已知集合,则下列结论正确的是
A.B.C.D.
3.设,则“”是“”成立的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4.已知点,则与向量方向相同的单位向量是
A.B.C.D.
5.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若,则
A.B.C.D.
6.函数的最大值与最小值的和是
A.B.0C.D.
7.函数的单调递增区间是
A.B.C.D.
8.由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是
A.B.C.D.
9.在中,角所对的边分别是,若,则的最小角的正弦值等于
A.B.C.D.
10.已知定义在上的奇函数的导函数为,当时,满足
,则在上的零点个数为
A.1B.3C.5D.1或3
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.
11.命题“对任意”的否定是
12.已知向量向量满足,则的取值范围是
13.已知函数在上单调递增,在上单调递减,则
14.设函数,若互不相等的实数满足,则的取值范围是
15.已知函数,有下列五个命题:
①不论为什么值,函数的图象关于原点对称;
②若,函数的极小值是,极大值是;
③若,则函数的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;
④当时,对函数图象上任意一点,都存在唯一的点,使得(其中点是坐标原点)
⑤当时,函数图象上任意一点的切线与直线及轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是(填上你认为正确的所有命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
如图,,动点与分别在射线上,且线段的长为1,线段的长为2,点分别是线段的中点.
(Ⅰ)用向量与表示向量;
(Ⅱ)求向量的模.
17(本小题满分12分)
在中,角所对的边分别是,若,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
18(本小题满分12分)
函数的导函数为.
(Ⅰ)若函数在处取得极值,求实数的值;
(Ⅱ)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围.
已知函数(为奇函数,且函数的图象的两相邻对称轴之间的距离为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象,求函数的单调递增区间.
(Ⅰ)若函数在其定义域内单调递减,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若,且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.
21(本小题满分14分)
已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设,讨论的单调性;
(Ⅲ)已知且,证明:
2015届皖南八校联考数学（理科）
参考答案
一选择题：二填空题，使得成立。12.13.14：15.①③⑤
三解答题：分别是线段、的中点，得.………6分
（Ⅱ）由已知可得向量与的模分别为与，夹角为，
所以,由得
=……………12分
17.解：（Ⅰ）可得
所以，所以，……………3分
所以
所以……6分
（Ⅱ）由（1）可得
在中
∴,……………9分
∴.……………12分
18.解:(Ⅰ)，由于函数在时取得极值，所以。
即解得，此时在两边异号，在处取得极值。……6分
(Ⅱ)方法一：由题设知：对任意都成立
即对任意都成立……………9分
设,则对任意，为单调递增函数
所以对任意，恒成立的充分必要条件是
即，，于是的取值范围是……………12分
方法二：由题设知：，对任意都成立
即对任意都成立
于是对任意都成立，即……………9分
，于是的取值范围是……………12分
19.解：（Ⅰ）
．……………3分
因为为奇函数，所以，又，可得
所以，由题意得，所以．
故．因此．……………6分
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，
所以．……………9分
当（），
即（）时，单调递增，
因此的单调递增区间为（）．……………12分
20.解：（Ⅰ）的定义域是，求导得
依题意在时恒成立，即在恒成立.…………3分
这个不等式提供2种解法，供参考
解法一：因为，所以二次函数开口向下，对称轴，问题转化为
所以，所以的取值范围是……………6分
解法二，分离变量，得在恒成立，即
当时，取最小值，∴的取值范围是……………6分
（Ⅱ）由题意，即，
设则列表：
( 极大值 ( 极小值 ( ∴，，又………10分
方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则，得（注意）……………13分
21.解：（Ⅰ）所以
由题意,得……3分
(Ⅱ)，所以
设
当时，，是增函数，，
所以，故在上为增函数；……………6分
当时，，是减函数，，
所以，故在上为增函数；
所以在区间和都是单调递增的。……………8分
(Ⅲ)由已知可知要证，即证……………10分
即证，即证，即证，……………12分
又，由（2）知成立，所以。……………14分
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