滚动小专题(七)四边形的有关计算与证明
四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一,通常结合三角形等知识综合考查,以计算题、证明题的形式出现,解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外,还须综合三角形等知识解题.
例(2014·邵阳)准备一张矩形纸片,按如图所示操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点;将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN,从而证出四边形BFDE是平行四边形;
(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE=∠DBE=∠DBC=30°,利用锐角三角函数可求出AE、BE,进而求出AD、DE,即可求出菱形BFDE的面积.
【解答】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=90°,AB=CD.
由翻折得:BM=AB,DN=DC,∠A=∠EMB,∠C=∠DNF,
∴BM=DN,∠EMB=∠DNF=90°,
∴BN=DM,∠EMD=∠FNB=90°.
∵AD∥BC,∴∠EDM=∠FBN,
∴△EDM≌△FBN(ASA),∴ED=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
(2)∵四边形BFDE是菱形,∴∠EBD=∠FBD.
∵∠ABE=∠EBD,∠ABC=90°,
∴∠ABE=×90°=30°.
在Rt△ABE中,∵AB=2,
∴AE=,BE=,
∴ED=,∴AD=.
∴S△ABE=AB·AE=.
S矩形ABCD=AB·AD=,
∴S菱形BFDE=-2×=.
方法归纳:证明平行四边形及特殊平行四边形时,通常要先看题中已知条件的特点,然后根据条件选择合适的判定方法加以证明.
1.(2013·新疆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC、CD交于点E、F,EH⊥AB于H.连接FH,求证:四边形CFHE是菱形.
2.(2014·济宁)如图,正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上,连接BF、DF.
(1)求证:BF=DF;
(2)连接CF,请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).
3.(2014·凉山)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
4.(2014·舟山)已知:如图,在□ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接BE,DF.
(1)求证:△DOE≌△BOF.
(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由.
5.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.
(1)求证:四边形CDOF是矩形;
(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.
6.(2014·成都)如图,矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD边上一点,DE=AD(n为大于2的整数),连接BE,作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F,G,FG与BE的交点为O,连接BF和EG.
(1)试判断四边形BFEG的形状,并说明理由;
(2)当AB=a(a为常数),n=3时,求FG的长;
(3)记四边形BFEG的面积为S1,矩形ABCD的面积为S2,当=时,求n的值.(直接写出结果,不必写出解答过程)
参考答案
1.证明:∵∠ACB=90°,AE平分∠BAC,EH⊥AB,
∴CE=EH.
在Rt△ACE和Rt△AHE中,AE=AE,CE=EH,
由勾股定理,得AC=AH.∴∠CAF=∠HAF.
在△CAF和△HAF中,
∴△CAF≌△HAF(SAS),∴∠ACD=∠AHF.
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠CDA=∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAB=90°,∠CAB+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B=∠AHF,∴FH∥CE.
∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CF∥EH,
∴四边形CFHE是平行四边形.
又∵CE=EH,∴四边形CFHE是菱形.
2.证明:(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG=EF=FG,
∠BEF=∠DGF=90°.
∵BE=AB-AE,DG=AD-AG,∴BE=DG,
∴△BEF≌△DGF,∴BF=DF.
(2)BE∶CF=.
3.证明:(1)∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴∠AEF=∠AEB=30°,AE=AB,
∠EFA=90°.
∴∠AEF=∠BAC.
又∵∠ACB=90°,∴∠EFA=∠ACB.
∴△AEF≌△BAC(AAS),∴AC=EF.
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴AC=AD,∠DAC=60°.
由(1)的结论得AC=EF.∴AD=EF.
又∵∠BAC=30°,
∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°.
又∵∠EFA=90°,∴EF∥AD.
又∵EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
4.(1)证明:∵在□ABCD中,O为对角线BD的中点,
∴BO=DO,∠EDB=∠FBO.
∵∠EOD=∠BOF,∴△DOE≌△BOF(ASA).
(2)当∠DOE=90°时,四边形BFDE为菱形.
理由:∵△DOE≌△BOF,∴BF=DE.
又∵BF∥DE,∴四边形EBFD是平行四边形.
∵BO=DO,∠EOD=90°,
∴EB=DE.∴四边形BFDE为菱形.
5.(1)证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF.
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴2∠COD+2∠COF=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,AD=DC.∴∠CDO=90°.
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°.
∴四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
理由:∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC.
又由(1)知四边形CDOF是矩形,
∴四边形CDOF是正方形.
因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
6.(1)菱形.
∵FG为BE的垂直平分线,
∴FE=FB,GB=GE,∠FEB=∠FBO.
又FE∥BG,∴∠FEB=∠GBO,
∴∠FBO=∠GBO.
∵BO=BO,∠BOF=∠BOG=90°,
∴△BOF≌△BOG,∴BF=BG.
∴BG=GE=EF=FB.∴四边形BFEG为菱形.
(2)AB=a,AD=2a,DE=a,AE=a,
BE==a,OE=a.
设菱形BFEG的边长为x,
∵AB2+AF2=BF2,
∴a2+(a-x)2=x2,解得x=a.
∴OF==a=a.∴FG=a.
(3)n=6.
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