中考压轴题中函数之二次函数的应用问题，主要是解答题，常见问题有以为背景问题，以为背景问题和以为背景问题类。二次函
一.以为背景问题
如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等三角形ABC的为.
【答案】。
【考点】二次函数的性质，等三角形的性质。
∴CD=AD=3，且CD⊥AB。
∴若点C在AB上方，则C1（3，7）；若点C在AB下方，则C2（3，1）。
原创模拟预测题2.如图，抛物线的顶点为D（﹣1，4），与轴交于点C（0，3），与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线上，点以、、为顶点的三角形与△ACD相似试求出所有满足条件的点E的坐标
【答案】（1）由题意得，解得：，
解析式的解析式为：
（3），分种情况讨论：
①若△AFE∽△ACD，如图1，则，即，
整理，得，解得（与点A重合，舍去），
当时，。
∴此时，点E的坐标。
【考点】二次函数综合题，二次函数顶点，直角三角形的判定，勾股定理，。
原创模拟预测题3.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），
可设抛物线的解析式为：，
将C点坐标（0，3）代入，得：，解得。
抛物线的解析式为：，即。
∴PN=PE﹣NE=（）﹣（）=﹣x2﹣3x。
S△PAC=S△PAN+S△PCN，
。
当x=时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）。
（3）在y轴上存在点M，能够使得△ADE是等腰直角三角形。理由如下：
，顶点D的坐标为（﹣1，4）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理和逆定理。
二.以为背景问题
如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点.
（1）求点的坐标
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式.
A（2，0），B（6，0）C（4，8）；（2）y=-2x2+16x+8
【解析】
（2）由抛物线的顶点为C（4，8），
可设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，
把A（2，0）代入上式，
解得a=-2．
设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k，
把（0，8）代入上式得k=32，
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点。
若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点、D、E，求△DE的面积S的最大值；
若抛物线与矩形有且只有三个交点、M、N，线段MN的垂直平分线l过点，交线段于点F。当F＝1时，求抛物线的解析式
【答案】a＝－l，。
又∵抛物线过点(6，3)，，即。
如图①，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时，抛物线与的交点应落在或下方。
∴当x＝时，y≤0。
，即。由抛物线的对称性可知：。又∵△DE的高＝BC＝3，∴S＝。∵＞0，∴S随b的增大而。∴当b＝时，S的最大值＝。
如图②，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、边上时，抛物线与直线x＝的交点应落在线段上且不与点重合，即0≤＜3。当x＝，则，∴0≤＜3，∴。∴AE＝。∴S＝D·AE＝。∵＜，∴随b的增大而。∴当b＝时，S的最大值＝。综上所述：S的最大值为。
当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。
当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：
①当点M、N分别在AB、OC边上时．
如图,过M点作MGOC于点G，连接CM，
MG＝OA＝3．2＋MNＧ＝90°。
∵CF垂直平分MN．
CM＝N，1＋MNＧ=90°，∠1＝∠2。
∵AF＝1，OF＝3－1＝2。
∴，。
∴GN＝GM＝1。
设N(n，0)，则G(n1，0)，∴M(n＋1，3)。∴M＝，CM＝CN＝。
在RtCM中，，
∴，解得n＝1。∴M(2，3)，N(1，0)。
把M(2，3)，N(1，0)B(6，3)分别代入，得
，解得。
抛物线的解析式为。
设N(0，n)．则FN＝2－n，AN＝3一n。MF＝2－n，AM＝。在RtMABF中，，∴。解得：(不合题意舍去)，。AM＝，∴M(，3)，N(0，)。把M(，3)，N(0，)B(6，3)分别代入，得
，解得。抛物线的解析式为。综上所述，抛物线的解析式为或。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。
三.以为背景问题如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）设以AB为直径的M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
【答案】解：（1），当y=0时，。
解得x1=﹣m，x2=3m。
m＞0，A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）。
（2）A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，
，圆的半径为AB=2m。
OM=AM﹣OA=2m﹣m=m。
∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m）。
二次函数（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），
﹣2m=﹣4m2，解得m1=，m2=0（舍去）。
二次函数的解析式为，即。
（3）如图，连接CM，
在Rt△OCM中，
COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，
。
CD=2OC=。
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