2014年青年教师素质考试
数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（）
A．1627384950 B．234578910
C．3579111300 D．4692581470
2.图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）.其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）
A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙
3.如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与
AC成60°的角，在直线l上取一点P，使∠APB
=30°，则满足条件的点P的个数是（）
A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在
4.由四块镜面朝里的镜子组成的立方体，截面如图，正方
形ABCD边长为1，E是边AB上一个小孔，AE=，点F在边
BC上，BF=．若一束光线从E射入到点F，每当碰到正方形
的边时反射，反射时反射角等于入射角，当光线从小孔E射出时，
光线与正方形的边反射的次数为（）
A．4B．5C．6D．7
5.古人用天干和地支记序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行：
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…
从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历
纪年就是按这个顺序得来的，如公历2014年是农历甲午年，那么从今年往后，
农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）
A．是2018年 B．是2031年
C．是2044年 D．没有对应的年号
6.将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其
它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（）
A．15 B．18 C．21 D．24
7.工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，顶角为α，且tanα=，腰长为6cm；铁板乙形状为等腰梯形，两底边长分别为4cm，10cm，且有一内角为60°．现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为5.3cm的铜环中穿过，结果是（）
A．甲板能穿过，乙板不能穿过；B．甲板不能穿过，乙板能穿过
C．甲、乙两板都能穿过D．甲、乙两板都不能穿过
8.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是
AB，BC，CD，DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从
E点出发，经过F，G，H，最后回点E点，则蚂蚁所
走的最小路程是（）
A．2B．4C．D．
9.甲、乙两地相距250公里，某天小敏从
上午7：50由甲地开车前往乙地办事．
在上午9：00，10：00，11：00三个时
刻，车上的导航仪都进行了提示（如图）．
假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小敏距乙地还有（）
A．60公里B．45公里C．30公里D．15公里
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P
是BC边上的动点．设BP=x，若能在AC边上找到一点
Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是（）
A．2.4≤x≤4 B．3≤x≤4 C．2.5≤x≤4 D．3＜x≤4
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点
A为圆心，BC长为半径画弧；以点B为圆心，AC长为
半径画弧，两弧交于点D，连结CD．若AC＝1，则CD
的长度是．
12.如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN=3，
NP=4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上．若正三
角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中经过的路程长是（保留π）．
13.如图，一个半径为1的圆纸片，第一次剪去半径为的圆，得到的图形P1的面积为S1，第二次剪去半径为的圆，得到的图形P2的面积为S2，第三次剪去半径为的圆，得到的图形P3的面积为S3，…，依此，第n次剪完后得到的图形Pn的面积为Sn?则S2013-S2014=．
14.2014年仁川亚运会期间，体育场馆要对观众进行安全检查．若某体育馆在安检开始时已有若干名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度增加．各安检人员的安检效率相同．若用3名工作人员进行安检，需要25分钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；若用6名工作人员进行安检，时间则缩短为10分钟．现要求不超过5分钟完成上述过程，则至少要安排名工作人员进行安检．
15.现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要只袜子就一定能够配成10双袜子．
16.如图，一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片，D为直角边BC上一点，首先把点B折叠到点D，再把点A折叠到点D，使△CDE与△DFG的面积相等，则CD的长度
为
三、解答题（本大题有6小题，第17小题6分，第18、19小题每小题8分，第20、21、22小题10分，共52分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17.一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，甲、乙两人获胜的机会均等吗？并求甲获胜的概率．
18.如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．
19.有8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟.这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h.试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.
20.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC＝2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE＝45°（A，D，E按逆时针方向）.
（1）在图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E.易证：△ABD∽△DCE;当AD＝DE时，求AE的长.
（2）①在图2，若点D在边BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点F，是否存在点D，使AD＝DF？若存在，写出CD的长;若不存在，请说明理由.
②在图3，若点D在边BC的反向延长线上运动，DE与AC的延长线相交于E点，是否存在点D，使AD＝DE？若存在，写出所有点D的位置;若不存在，请说明理由.
21.如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（8，0），C（0，6），点M是OA的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿x轴向右运动；点Q沿x轴先向左运动至原点O后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P，Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与矩形OABC重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．
（1）用含t的代数式表示点P的坐标．
（2）分别求当t=1，t=5时，线段PQ的长．
（3）求S与t（4）连接AC．当正方形PRLQ与△ABC的重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．
22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
数学参考答案
1.A2.D3.B4.B5.D6.C7.C8.C9.A10.B
11.1或212.513.14.1115.2316.
17.
18.
19.解：［方案一］：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站.
设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为，根据题意，有
解得，因此这8个人全部到火车站所需时间为
故此方案可行.
［方案二］：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站.
分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，设这个路程为y千米,
解得。因此这8个人同时到火车站所需时间为
，故此方案可行.
20.解：（1）∵△ABD∽△DCE，AD＝DE，∴△ABD≌△DCE，∴AE＝AC－EC＝AC－BD＝AC－（BC－DC）＝AC－（BC－AB）＝2－（2－2）；
（2）①CD＝2；②不存在.
21.
22.解：（1）抛物线的解析式是：
（2）①点C为直角顶点时，P（2，6）；
②点A为直角顶点时，P（-2，-6）；
③点P为直角顶点时，P（，），或（，）；
（3）P点坐标为（，），或（，）.www.czsx.com.cn
www.271czsx.com
-1-
第题图
B
C
D
E
F
第题图
第题图
第题图
第题图
第1题图
Q
P
A1
B
N
第12题图
A
F
G
B
H
D
C
E
第题图
第题图
第题图
第题图
21题图
第22题图
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