高一数学同步学
名校期中考题每日一练(82)
1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f??????π2＝－23，则f(0)＝________.
2．函数y＝sin??????2x＋π6＋cos??????2x－π3的最大值为________．
3．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是
这段图象的最高点和最低点，且OM→·ON→＝0，则A·ω＝________.
4．要使sinα－3cosα＝4m－64－m有意义，则m的范围为________．
5．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin??????x－π6的图象，
则φ等于________．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos??????x2＋3π2(x∈[0,2π])的图象和直线y＝12的交点个
数是________．
7．给出下列命题：
①函数y＝cos??????23x＋π2是奇函数；
②存在实数α，使得sinα＋cosα＝32；
③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；
④x＝π8是函数y＝sin??????2x＋5π4的一条对称轴；
⑤函数y＝sin??????2x＋π3的图象关于点??????π12，0成中心对称图形．
其中正确命题的序号为________．
8．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象如图所
示，则当t＝1100秒时，电流强度是________安．
9．设函数y＝2sin??????2x＋π3的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈??????－π2，0，则x0＝________.
10．函数f(x)＝3sin??????2x－π3的图象为C，下列结论：①图象C关于直线x＝π6对称；②图象C
关于点??????－π6，0对称；③f(x)在区间??????－π12，5π12上是增函数；
④函数g(x)＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到f(x)的图象，其中正确的命题
序号是________．
二、解答题
11．函数f(x)＝Asin??????ωx－π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距
离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈??????0，π2，f??????α2＝2，求α的值．
12．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒
转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面
间的距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达
最高点时用的最少时间是多少？
13．已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x
＝13时，f(x)max＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间??????214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不
存在，请说明理由．
14．已知函数f(x)＝23sinx2＋π4·cos??????x2＋π4－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上
的最大值和最小值．
1.解析由题中图象可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将??????11π12，0代入解析式得114π＋φ
＝π2＋2kπ，所以φ＝－9π4＋2kπ，令φ＝－π4代入解析式得f(x)＝Acos??????3x－π4，又因为f??????π2＝
－Asinπ4＝－23，所以f(0)＝Acos??????－π4＝Acosπ4＝23.
答案23
2.解析法一由题意可知y＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6＋cos2xcosπ3＋sin2xsinπ3＝3sin2x＋
cos2x＝2sin??????2x＋π6，所以最大值为2.
法二y＝sin??????2x＋π6＋cos????????????2x＋π6－π2＝
2sin??????2x＋π6，所以最大值为2.
答案2
3.解析由题图可知，T＝π，所以ω＝2，
易得sin??????2×π12＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π3，
因此y＝Asin??????2x＋π3，又M??????π12，A，N??????7π12，－A，
若OM→·ON→＝0，则π12×7π12－A2＝0，所以A＝712π，
因此A·ω＝2×712π＝76π.
答案76π
4.解析4m－64－m＝sinα－3cosα＝2sin??????α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m－64－m≤2，解得－
1≤m≤73.
答案??????－1，73
5.解析∵sin??????x－π6＝sin??????x－π6＋2π，即sin??????x－π6＝sin??????x＋116π，∴将函数y＝sinx的图象
向左平移116π个单位可得到函数y＝sin??????x－π6的图象．
答案116π
6.解析y＝cos??????x2＋3π2＝sinx2(x∈[0,2π])，画出图象可得在[0,2π]上它们有2个交点．
答案：2
7.解析①y＝cos??????2x3＋π2?y＝－sin23x是奇函数；
②由sinα＋cosα＝2sin??????α＋π4的最大值为2，
2＜32，所以不存在实数α，使得sinα＋cosα＝32.
③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tanα＝3，tanβ＝tan390°
＝33，tanα＞tanβ，所以③不成立．
④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，sin32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin??????2×π12＋π3＝sin??????π6＋π3＝1≠0，
∴⑤不成立．
答案①④
8.解析由图象知A＝10，T2＝4300－1300＝1100，
∴ω＝2πT＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．
??
?
??
?1
300，10为五点中的第二个点，∴100π×
1
300＋φ＝
π
2.
∴φ＝π6.∴I＝10sin??????100πt＋16，当t＝1100秒时，I＝－5安．
答案－5
9.解析因为函数图象的对称中心是其与x轴的交点，
所以y＝2sin??????2x0＋π3＝0，x0∈??????－π2，0，解得x0＝－π6.
答案－π6
10.解析①当x＝π6时，2x－π3＝2×π6－π3＝0，所以C关于点??????π6，0对称，所以①不正确．②
当x＝－π6时，3sin??????2x－π3＝3sin??????－2π3≠0，所以②不正确．③当x∈??????－π12，5π12时，2x－π3∈
??
?
??
?－π
2，
π
2，y＝f(x)在??
?
??
?－π
2，
π
2上单调增，所以③正
确．④g??????x－π3＝3sin2??????x－π3＝3sin??????2x－2π3≠f(x)，所以④不正确，故正确的题号是③.
答案③
11.解(1)由题意，A＋1＝3，所以A＝2.
因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T＝π，所以ω＝2.故函数f(x)
＝2sin??????2x－π6＋1.
(2)因为f??????α2＝2sin??????α－π6＋1＝2，所以sin??????α－π6＝12.又0<α<π2，
所以α－π6＝π6，即α＝π3.
12.解(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终
边的角为θ－π2，故点B的坐标为??????4.8cos??????θ－π2，4.8sin??????θ－π2，
∴h＝5.6＋4.8sin??????θ－π2.
(2)点A在圆上转动的角速度是π30，故t秒转过的弧度数为π30t，
∴h＝5.6＋4.8sin??????π30t－π2，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4m.
由sin??????π30t－π2＝1，得π30t－π2＝π2，∴t＝30，
∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．
13.解(1)因为f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为
当x＝13时，f(x)max＝2，知13π＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，所以f(x)＝
2sin??????πx＋2kπ＋π6＝2sin??????πx＋π6(k∈Z)．
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin??????πx＋π6.
(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，
令πx＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝k＋13(k∈Z)，由214≤k＋13≤234，解得5912≤k≤6512，又k∈Z，
知k＝5，由此可知在闭区间??????214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝163.
14.解(1)因为f(x)＝3sin??????x＋π2＋sinx
＝3cosx＋sinx＝2??????32cosx＋12sinx
＝2sin??????x＋π3，所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f??????x－π6＝2sin[??????x－π6＋
π
3]＝
2sin??????x＋π6.∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈??????π6，7π6，∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，sin??????x＋π6＝1，g(x)
取得最大值2.
当x＋π6＝7π6，即x＝π时，sin??????x＋π6＝－12，g(x)取得最小值－1.
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