高考数学研究等差数列及其前n项和1/7
2015一轮复习经典——（89）
等差数列及其前n项和
一、选择题
1．(2013·山东滨州模拟)已知{an}为等差数列，若a3＋a4＋a8＝9，则
S9＝()
A．24B．27
C．15D．54
2．(2013·汕头质量测评)在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，
若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，则k＝()
A．45B．46
C．47D．48
3．(2013·河北唐山一中第二次月考)在等差数列{an}中，前n项的和
为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝()
A．54B．45
C．36D．27
4．(2013·江西联考)等差数列{an}的前n项的和为Sn，且a2013＝S2013
＝2013，则a1的值为()
A．2012B．－2012
C．2011D．－2011
5．(2013·江西八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足
S15>0，S16<0，则S1a
1
、S2a
2
、S3a
3
…S15a
15
中最大项为()
A.S6a
6
B.S7a
7
C.S8a
8
D.S9a
9
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6．(2013·青岛市高三自评试题)已知数列{an}是以3为公差的等差数
列，Sn是其前n项和，若S10是数列{Sn}中的惟一最小项，则数列{an}
的首项a1的取值范围是()
A．[－30,27]B．(30,33)
C．(－30，－27)D．[30,33]
二、填空题
7．(2013·广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝
________.
8．(2013·潍坊模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次
构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114
cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.
9．(2013·浙江金华十校模拟)已知数列{an}是公差为1的等差数列，
Sn是其前n项和，若S8是数列{Sn}中的惟一最小项，则数列{an}的首
项a1的取值范围是________．
三、解答题
10．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)求证：数列{1a
n
}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
高考数学研究等差数列及其前n项和3/7
11．(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，
求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．
12．(2013·石家庄第二次模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的首项
为2，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝1?a
n＋1?
2－1(n∈N
)，求数列{b
n}的前n项和．
13．(1)(2013·江西省宜春市高三模拟考试)在等差数列{an}中，a1＝－
2013，其前n项和为Sn，若S20142014－S20122012＝2，则S2013的值等于()
A．－2013B．－2012C．2012D．2013
(2)(2013·湖北八市调考)如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特
点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N)，则
234567…
35791113…
4710131619…
5913172125…
61116212631…
71319253137…
…………………
①a99＝________；
②表中数82共出现________次．
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1.解析：数列{an}为等差数列，∴a3＋a4＋a8＝3a5＝9，∴S9＝9a5＝3×9
＝27.选B.
答案：B
2.解析：ak＝a1＋a2＋…＋a10＝d＋2d＋…＋9d＝45d＝a46，∴k＝46，
选B.
答案：B
3.解析：由已知等差数列{an}中，2a8＝6＋a11，∴2a1＋14d＝6＋a1＋
10d，∴a5＝6，而S9＝9a5＝54，故选A.
答案：A
4.解析：S2013＝2013?a1＋a2013?2＝2013，∴a1＝2－2013＝－2011，
选D.
答案：D
5.解析：由数列{an}为等差数列，可得S15＝15?a1＋a15?2＝15a8>0，故
a8>0，S16＝16?a1＋a16?2<0，故a1＋a16<0，由等差数列的基本性质：a1
＋a16＝a2＋a15＝…＝a8＋a9，所以a9<0，可推知在数列{an}中，首项
a1>0，d<0.则{an}为递减数列，有S1a2>…>a8>0>a9，
故S8a
8
最大．
答案：C
6.解析：由已知S10为数列{Sn}中的惟一最小项，可得a10＝a1＋9d＝
a1＋27<0?a1<－27，a11＝a1＋10d＝a1＋30>0?a1>－30，故选C.
答案：C
7.解析：利用等差数列的性质可快速求解．因为a3＋a8＝10，所以3a5
高考数学研究等差数列及其前n项和5/7
＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
答案：20
8.解析：由题意可知a1＝10,3an－1＝114，即an－1＝38，a26＝a1·an，即
(10＋5d)2＝10(38＋d)(d>0)解得d＝2，an－1＝10＋2(n－2)＝38，∴n
＝16.
答案：16
9.解析：由已知可知等差数列{an}中，a8<0，a9>0，故可得a1＋7<0，
a1＋8>0?－8
答案：(－8，－7)
10.解：(1)证明：因为3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得1a
n
－1a
n－1
＝3(n≥2)．
所以数列{1a
n
}是以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)由(1)可得1a
n
＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝13n－2.
11.解：(1)由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－53.
∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0，
又∵a1>0，
∴a1、a2、…、a11、a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
高考数学研究等差数列及其前n项和6/7
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列，
令
??
??
?an＝4n－25<0，
an＋1＝4?n＋1?－25≥0，
①
②
由①得n<614；由②得n≥514，所以n＝6.
即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第
7项起以后各项构成公差为4的等差数列，
而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.
设{|an|}的前n项和为Tn，则
Tn＝
?
??
21n＋n?n－1?2×?－4?，n≤6
66＋3?n－6?＋?n－6??n－7?2×4，n≥7
＝
??
??
?－2n2＋23n，n≤6，
2n2－23n＋132，n≥7.
12.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由(a2)2＝a1·a4，
又首项为2，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
因为d≠0，所以d＝2，
所以an＝2n.
(2)设数列{bn}的前n项和Tn，由(1)知an＝2n，
所以bn＝1?a
n＋1?
2－1＝
1
?2n＋1?2－1
＝14·1n?n＋1?＝14·??????1n－1n＋1，
所以Tn＝14·??????1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
高考数学研究等差数列及其前n项和7/7
＝14·??????1－1n＋1＝n4?n＋1?，
即数列{bn}的前n项和Tn＝n4?n＋1?.
13.解析：(1)由S20142014－S20122012＝2可得a1＋a20142－a1＋a20122＝2，即d＝2
a2013＝a1＋(2013－1)×2＝2011，S2013＝2013?a1＋a2013?2＝－2013，
故选A.
(2)①由“森德拉姆素数筛”知，每一列从上到下都构成等差数列，
且第1列的公差是1；每一行从左到右都构成等差数列，第1行的公
差是1，第2行的公差是2，第3行的公差是3，…，第9行的公差
是9，因此第9行的前9个数分别为10,19,28,37,46,55,64,73,82，则
aij＝i·j＋1＝82，即a99＝9×9＋1＝82.
②由①得，a99＝i·j＋1＝82(i，j∈N)，即i·j＝81，
由于82＝1×82＝82×1＝3×27＝27×3＝9×9，故数阵中82出现5
次．
答案：(1)A(2)①82②5
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