|
|
| 立体几何（13）—高端视野：折叠与展开 |
|
|
|
|
高考数学研究折叠与展开1/3
立体几何——（13）
高端视野:折叠与展开
折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几
何问题转化的集中体现。
一、翻折问题的关键有二：
①画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图；
②分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变,
一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两面二个半平面内的
几何元素之间的关系是要变化的，分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然
垂直于翻折棱。
二、求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题:通常把几何体的侧面展开，转化
为平面图形中的距离问题。
一、折叠与展开中的垂直问题
【例1】如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥
BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A''ED=60°.
求证:A''E⊥平面A''BC
解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
【解析】∵FG∥BC，AD⊥BC∴A''E⊥FG∴A''E⊥BC设A''E=a，
则ED=2a由余弦定理得：A''D2=A''E2+ED2-2?A''E?EDcos60°=3a2∴ED2=A''D2+A''E2∴A''D
⊥A''E∴A''E⊥平面A''BC
【例2】如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE
将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.
【解析】过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边
长满足勾股定理，∴∠DFE＝090；
二、折叠与展开中的空间角问题
【例3】矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起,使点A在平面BCD上
的射影A′落在BC上，求二面角A—BD-—C的余弦值。
ＥＤ
Ｂ
Ａ
ＥＤＣＢ
Ａ
高考数学研究折叠与展开2/3
【解析】这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在
于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，
则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，
此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的
角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题
设射影落在BC上,所以E点就是A′。答案：169。
【例4】如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.
(1)求证：AD⊥EC，且与二面角F—AD—C的大小无关；
(2)FC与FE所成的角为30°时，求二面角F—AD—C的余弦值.
【解析】(1)正六边形ABCDEF，在折叠前有AD⊥EC，设AD与EC交于
M，折叠后即有AD⊥ME，AD⊥MC.则AD⊥平面EMC，无论∠EMC的大小如何，总有
AD⊥EC.(2)利用余弦定理，有cos∠EMC＝97
三、折叠与展开中的距离与体积问题
【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，以AC为轴翻折半平面，使二平面角
B—AC—D为120°，求：翻折后，D到平面ABC的距离；
【解析】研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母
要相同.
【解析】分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FB′∥BE，过B作BB′∥AC，
交点B′，则四边形EFB′B是矩形.∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠
DF′B就是二面角B—AC—D的平面角，∠DFB′＝120°.
过D作DO⊥B′F，垂足为O.∵DO?平面DFB′，AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥
平面ABC.
在RtΔADC中，CD＝2，AD＝23，∴DF＝3，OD＝DF·sin60°＝23.
高考数学研究折叠与展开3/3
【例6】正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，在
棱柱表面上从点M到点N的最短距离是多少?
【解析】(1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝22ANAM?
＝22)12(1??＝10
(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.
则MN＝????120cos222ANAMANAM＝
21312)3(122?????
＝34?
∵34?＜10∴minMN＝34?.
欢迎关注北京高考数学研究微信号
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
