高考数学研究QQ群305203503135分基础大题训练1/5
135分拔高大题训练5
导数大题12min,解析几何大题15min。
18．（本小题满分14分）
已知.,ln)(Raxaxxf???
（Ⅰ）当2?a时，求曲线)(xf在点))1(,1(f处的切线方程；
（Ⅱ）若)(xf在1?x处有极值，求)(xf的单调递增区间；
（Ⅲ）是否存在实数a，使()fx在区间??e,0的最小值是3，若存在，求出a的值；
若不存在，说明理由.
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19．（本小题满分13分）
已知椭圆1
2
2
2
2??byax（0??ba）过点M（0，2），离心率36?e.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于BA、两点，且AOB?为锐角（其
中O为坐标原点),求直线l倾斜角的取值范围.
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18.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得)(xf的定义域为(0)??，，
因为()lnfxaxx??，所以''1()fxax??
当2a?时，()2lnfxxx??，所以(1)2f?
因为''1()2fxx??，所以''1(1)211f???
……………………2分
所以曲线)(xf在点))1(,1(f处的切线方程为
2(1)(1)yfx????，即10xy???…………………………4分
（Ⅱ）因为)(xf在1?x处有极值，所以(1)0f??，
由（Ⅰ）知(1)1fa???，所以1a?
经检验，1a?时)(xf在1?x处有极值．…………………………6分
所以()lnfxxx??，令''1()10fxx???解得10xx??或；
因为)(xf的定义域为(0)??，，所以''()0fx?的解集为(1)??，，
即)(xf的单调递增区间为(1)??，.…………………………………………8分
（Ⅲ）假设存在实数a，使xaxxfln)(??（],0(ex?）有最小值3，
①当0?a时，因为??ex,0?，所以0)(''?xf，
所以)(xf在],0(e上单调递减，
31)()(min????aeefxf，ea4?，舍去.…………………………10分
②当ea??10时，)(xf在)1,0(a上单调递减，在],1(ea上单调递增，
3ln1)1()(min????aafxf
，2ea?，满足条件.………………………12分
③当ea?1时，因为??ex,0?，所以0)(''?xf，
所以)(xf在],0(e上单调递减，31)()(min????aeefxf，ea4?，舍去.
综上，存在实数2ea?，使得当],0(ex?时()fx有最小值3.……………14分
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19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意得36,2??acb
结合222cba??，解得122?a
所以，椭圆的方程为141222??yx.………………4分
（Ⅱ）设),(),,(2211yxByxA，则),(OB),,(OA2211yxyx??.
①当221??xx时，不妨令)362,2(OB),362,2(OA???
034384OBOA?????，当斜率不存在时，AOB?为锐角成立………………6分
②当21xx?时，设直线l的方程为：)2(??xky
由
???
???
?
??
??
)2(
1412
22
xky
yx
得12)2(3222???xkx
即0121212)31(2222?????kxkxk.
所以
2
2
212
2
21311212,3112kkxxkkxx???????
，………………8分
]4)(2[()2)(2(2121221221????????xxxxkxxkyy
2
24
2
4
2
24314123124311212kkkkkkkk????????
2
2318kk???………………10分
2121OBOAyyxx???
03112422????kk
解得33???kk或.……………………12分
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综上，直线l倾斜角的取值范围是)32,3(??.…………………13分
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