北京市西城区2014年高三一模试卷
数学(理科)2014.4
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,集合,,则集合() (A) (B) (C) (D) 2.已知平面向量,,.若,则实数的值为() (A) (B) (C) (D) 3.在极坐标系中,且与极轴平行的直线方程是() (A) (B) (C) (D) 4.执行如图所示的程序框,那么输出的a值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
5.下列函数中,对于任意,同时满足条件和的函数是() (A)
(C) (B)
(D)
6.“”是“方程表示双曲线”的() (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于() (A) (B) (C)5 (D)6
8.如图,设为正四面体表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素,那么符合条件的点P有() (A)4个 (B)6个 (C)10个 (D)14个
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分..,其中,则______..若抛物线的焦点在直线上,则_____;的准线方程为_____.
11.12.表示的平面区域是一个四边形,则实数的取值范围是_______.
13.科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______.(用数字作答)
14.中,,,,,,P为线段(含端点)上一个动点,设,,对于函数,给出以下三个结论:
当时,函数的值域为;
,都有成立;
,函数的最大值都等于4.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c..
(Ⅰ)的大小;
(Ⅱ),,求△ABC的面积.
16.13分)
在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成三个等级,寿命大于或等于500天的灯泡是优等品寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
寿命(天) 频数 频率 20 30 0 50 合计 (Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a,b的值;
(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了个,如果这n个灯泡的等级恰好与按等级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值
(Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用,若以上述频率作为概率,用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X的分布列和数学期望.17.14分)
如图,在四棱柱中,底面和侧面都是矩形,是的中点,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证://平面;
(Ⅲ)与平面所成的锐二面角的大小为,求的.
18.13分)
已知函数其中.
(Ⅰ)当时,函数的图象在处的切线方程;
(Ⅱ),且,都有,求的取值范围19.14分)
已知椭圆,l与W相交于两点,与x轴、轴分别相交于、点,.
(Ⅰ)的方程为,求外接圆的方程;
(Ⅱ)判断是否存在直线,使得是线段的两个三等分点说明理由.20.13分)
在数列中,.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为,并称为数列的项子列.例如数列为的一个4项子列.
试写出的一个3项子列,并使为等差数列;
()为的一个项子列,且为等数列,证明:满足;
()为的一个项子列,且为等比数列,证明:.
..........
11....
注:第10题第一问2分,第二问3分.第14题若有错选、多选不得分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.13分)
(Ⅰ)解:因为,
所以,………………3分
又因为,
所以.………………5分
(Ⅱ)解:因为,,
所以.………………7分
由正弦定理,………………9分
得.………………10分
因为,
所以,
解得,
因为,
所以.………………11分
故△ABC的面积.………………13分
16.13分)
(Ⅰ)解:.………………2分
:.………………4分,
所以的最小值为.………………6分的所有取值为.………………7分,………8分3个,可看成3次独立重复试验,
所以,
,
,
.………………11分的分布列为:
0 1 2 3 ………………12分的数学期望,,.请酌情给分)
17.14分)
(Ⅰ)证明:因为底面和侧面是矩形,
所以,,
又因为,
所以平面,………………2分
因为平面,
所以.………………4分
(Ⅱ)证明:因为,
所以四边形是平行四边形.
连接交于点,连接,则为的中点.
在中,因为,,
所以.………………6分
又因为平面,平面,
所以平面.………………8分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)可知,
又因为,,
所以平面.………………9分
设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴
如图建立空间直角坐标系,
设,则.
设平面法向量为,
因为,
由得
令,得.………………11分
设平面法向量为,
因为,
由得
令,得.………………12分
由平面与平面所成的锐二面角的大小为,
得,………………13分
解得.………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ),其中,………………2分,
又因为,
所以函数的图象在处的切线方程.………………4分(Ⅱ),的图象,
配方得,………………5分在上单调递增,在单调递减,且.
………………6分,且,都有成立,
所以.………………8分,的图象,
则,
令,解得.………………9分随着变化时,和的变化情况如下:
↘ ↗ 即函数上单调减上单调增.………………11分,且,都有成立,
所以.………………12分(即),
所以的取值范围.………………13分.14分)
(Ⅰ)证明:因为的方程为,
所以与x轴,与轴.………………1分
则的中点,,………………3分外接圆的圆心为,半径为,
所以外接圆的方程为.………………5分
(Ⅱ)解:结论:存在直线,使得是线段的两个三等分点.
理由如下:
由题意,设直线的方程为,,,
则,,………………6分
由方程组得,………………7分
所以,()………………8分
由韦达定理,得,.………………9分
是线段的两个三等分点,线段的中点与线段的中点重合.
所以,………………10分
解得.………………11分是线段的两个三等分点,.
所以,………………12分
即,
解得.………………13分
验证知()成立.
所以存在直线,使得是线段的两个三等分点,此时直线l的方程为,或.………………14分20.13分)
(Ⅰ)解:答案不唯一.如,,;………………2分
(),
所以.………………3分
若,
由为的一个项子列,
所以.
因为,,
所以,即.
这与矛盾.
所以.
所以,………………6分,,
所以,即,
综上,得.………………7分()证明:由题意,设的公比为,
则.
因为为的一个项子列,
所以为正有理数,,.
设,且互质,).
当时,
因为,
所以
,
,
所以.………………10分
当时,
因为中的项,且互质,
所以,
所以
.
因为,,
所以.
综上,.………………13分
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开始
输出a
结束
否
是
输入a,b
B
A
D
C
.P
AB
DC
P
AB
A1B1
DC
E
D1C1
AB
A1B1
DC
E
D1C1
z
y
x
F
G
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