第3节相似三角形的判定
知识要点
判定三角形相似的方法是：预备定理、三个判定定理、斜边=直角边定理．其中使用
频率最高的是“两角对应相等，两三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．
所有的判定方法不外乎证明两点：=是角相等，二是边成比例．证明“角相等”，应特别注意：①特殊角(如直角)，②特殊关系的角(如公共角、对顶角、等腰三角形的两底角、等角的余角、等角的补角)．
我们按照图形的结构，把常见的判定三角形相似的方法概括为三种基本类型：共角共
边型、嵌入型、旋转翻折型．
=、共角共边型
“共角共边型”是指有一个角为公共角或对顶角的两个三角形，只要再证明一个角相等或者证明夹公共角(对顶角)的两边对应成比例就能证明两三角形相似．如图1—3—1所示，基本图形有4种：
△ABC和△ADE有一个角为公共角或对顶角，又有一组对应角相等或两条夹边对应成比例°
例题精选：
例1如图△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且∠ABD=∠ACE，联结DE.
求证：△ADE∽△ABC
△ADE∽△ABC的务件，也就是说，证明第一对三角形相似得到的结果(角相等或边成比例)作为条件马上用于证明第二对三角形相似，这是证明三角形相似常用的方法．
引申(1)若设BD、CE的交点为F，则还可以证明△BEF∽△CDF和△BCF∽△EDF，可得到4对相似三角形．
(2)若条件“∠ABD=∠ACE”变为“BD上AC，CEJ-AB”，即使BD、CE成为
△ABC的高，则共可得到8对相似三角形，请自己验证一下
举=反三
1-1如图1—3—3，D是Rt△ABC斜边AB上的中点，过D作DF上AB，交BC于
E，交AC的延长线于点F．求证：DC2=DE·DF．
点评若证△CDE∽△FDC，则再找=对相等的角是关键；若利用DC2=DB·DA，
则证明△BDE∽△FDA是关键．
1—2如图1—3—4，□ABCD中，点E在BC上，AE交BD于F，已知BE2=EF·AE．求证：DC2=BF·BD．
点评本题中有两组共角共边的相似三角形．判定△ABE∽△BFE用的是判定定理2(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)，判定△ABF∽△DBA用的是判定定理1(两角对应相等，两三角形相似)；此外，△DFA与ABFE可用预备定理判定它们相似，△BDC与ADBA是全等三角形，所以在本题图中实际上包含了两组共计6对相似三角形：△ABE∽ABFE∽△DFA，△ABF∽△DBA∽ABDC．
1—3如图1—3—5，等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AB上，且BD=DC，AE=EB，ADK交CE于F．求证：AD·DF=AB2．
点评等腰三角形和等边三角形中相等的角为相似三角形准备了‘‘天然”的条件．本题
整个图形呈旋转对称造就了诸多的边角相等关系和线段成比例关系．
二嵌入型
“嵌入型”是指一个角镶嵌在一个三角形或四边形的内部，这个角的顶点与三角形的顶点重合，或者这个角的顶点在三角形或四边形的=条边上，而这个角的两边分别与三角形或四边形的两条边相交°
例题精讲
例2如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=45°
写出图中的相似三角形；
求证：AB2=BE·DC
点评本题中，△ADE嵌入△ABC内，两个三角形有一个公共顶点(∠A)，称之为“正嵌型”，如图1—3—6所示；如果嵌入的三角形顶点在该角的对边上，称之为“反嵌型”，如图1—3—7所示．上题为“正嵌型”、下例为“反嵌型”如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在斜边BC上，、EF分别在AC、AB上，∠EDF=45°，求证：△CED∽△BDF
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在斜边BC上，E、F分别在AC、AB上，∠EDF=45°，可以证明△BDF∽ACED．
举=反三
再来看在等腰三角形的底边上被“反嵌入”一个角得到的图形．
2—1如图1—3—8，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=∠B，联结EF．找出图中的相似三角形并说明理由．
点评如果点D是边BC上的任意一点(端点以及中点除外)，那∠△BDF∽△CED仍然成立，但是△DEF与△BDF(△kCED)的相似关系不再成立我们在等腰梯形的底边上“反嵌入”一个角也能得到类似的结果．
2-2梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7,AB=DC=4,点P在边BC上，点E在边DC上，
∠APE=60°，联结AE
（1）求证：AB·CE=BP·PC
（2）△APE能否与△ABP相似？若能够，求此时点P的位置：若不能够，请简要说明理由
点评等腰梯形ABCD中，点P、E分别在BC、DC上，已知∠APE=∠B，则必有△ABP∽APCE，只有当点P位于BC中点时，才有△ABP∽△APE∽△PCE．
下面的图形又是大家熟悉的，我们还是来挖掘一下，看看还有什∠没有发现的东西．
2-3.如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的两点，AM⊥MN．联结AN．
(1)找出图中一定相似的三角形并加以证明
（2）△AMN或△AND能否与△ABM相似？如果能，求此时点M的位置；若不能，请说明理由
点评本题的“分类讨论”有两个层次，第一，按照“一定相似”和“不一定相似”来划分并对一定相似的加以证明；第二，按照“不一定相似”和“一定不相似”来划分，对“不一定相似，的要求找到相似成立的条件，而对“一定不相似”也要说明理由(即给以证明)．显然，第二层次分类的要求高于第一层次分类．
三、旋转翻折型
“旋转翻折型”可以看作先使其中一个三角形经过放大或缩小，再与另一个三角形呈旋转对称或轴对称的位置关系．
例题精解
例3如图1—3—12，若∠1=∠2=∠3，写出图中所有相似的三角形，并简要说明理由．
点评这4对相似三角形的位置关系有两种情况：
②③这两对相似三角形，每对三角形都可以看作是其中的一个三角形绕点A旋转后再
作放缩变换得到另一个三角形；
①④这两对相似三角形，每对三角形都可以看作是其中的一个三角形沿=条直线翻折后再作放缩变换得到另一个三角形．
这是用运动的观点来解读两个相似三角形的位置关系得出的结论．
如图1—3—13，△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE上BC，交AB于AE，CE交AD于点F．求证：
3—2如图1—3—14，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，G为DC延长线上=点，AF上BG，垂足为F，AF交CD于E．求证：CD2=DE·DG．
点评图中△GDB可以看作是将△ADE绕点D按顺时针旋转90°并放大得到．网理，图中△ADC与△CDB也存在“旋转并放大”的关系．
3—3如图1—3—15，△ABC中，点D在BC上，∠ADE=∠B，∠BAD=∠CAE．
(1)求证：AD·AC=AB·AE；
(2)当△BAC=90°时．求证:EC⊥BC
内容提炼
1.将三角形相似的判定与三角形全等的判定进行类比：
注：三角形相似中的“SSS”表示三边对应成比例，“HL”表示斜边与直角边对应成比例．
可以看出，判定“相似”比判定“全等”要求要低=些：例如“两个角对应相等”无法判定全等，但可以判定相似；再例如，“两组边对应成比例”的要求也比“两条边对应相等”的要求低，因为“两条边对应相等”是“两边对应成比例”中当比例系数为1时的特殊情况．实际上，“相似”的含义只是“像”，而“全等”的含义则是“=模=样”，“全等”的要求当然要高=些．
2．正因为判定相似比判定全等的要求低，所以相似形的图形变化更多，解题方法也更灵活．判定三角形相似首先要观察图形中有没有相等的角，例如，两个三角形有没有公共角、是否等腰三角形的两个底角或等腰梯形同=底上的两个角，等等；其次，要把已知的乘积式化为比例式，考查所涉及的线段围成的三角形是否相似，有时还需要经过中间比转化．
3．组成相似三角形的图形往往相互交错，互相渗透，图形中常包含证明相似三角形的“隐含条件”．以本节课所列举的判定三角形相似的三种情况为例，隐含条件分别为：在共边共角型中，提供了公共角(或对顶角)相等；反嵌入型中的三角形外角等于不相等的两个内角和；旋转型中的旋转角相等．
习题精练
1．满足下列条件的两个三角形不一定相似的是()
(A)有一个角都等于30°的两个直角三角形；
(B)有一个角都等于30°的两个等腰三角形；
(C)两直角边之比为1：2的两个直角三角形；
(D)两条边之比为1：2的两个等腰三角形．
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD平分∠ABC，∠ACE=∠ABD，与ABEF一定相似的三角形为()
(A)△BFC；(B)△BDC；(C)△BDA；(D)△CEA°
3．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，点P在DC上，点Q在BP上∠APB=∠D，∠PAQ=∠PBA，则图中相似的三角形共有()
(A)3对；(B)4对；(C)5对；(D)6对．
4.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，若△DEF与△ABC相似，则∠D的度数为
5.已知△ABC与△A7B7C7相似，∠A=∠A’=90°，AB=3，AC=4，A’B’=6，则B’C’=．
6．如图，若∠B=∠C，AE=EC=3，AD=2，则DB=．
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=∠BDC，若AB=4，BC=8，则CD=．
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，若AB=8，BC=4,AC=6,AD=9，则CD=
9．如图，△ABC中，D在AC上，若∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，则BD：BC=
10．如图，□ABCD中，AC交BD予O．已知BC2=BD2，求证：AB2=AC2．
11．如图，△ABC中，AB=AC，射线BF交高AD于G，交AC于E，作CF∥AB交BF于F．求证：BG2=GE·GF．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC延长线上，点E在AC上，联结AD，联结BE并延长，交AD于F，联结FC，已知∠EBC=∠D．
(1)求证：AD·BC=BD·BE．
(2)点E在AC上什∠位置时，能使FC⊥BD?证明你的结论．
互动探究
(1)如图①，D、E分别在等边三角形ABC的边CB和边BC的延长线上．
①已知BC2=DB·CE，求∠DAE的度数．
②以第①题所得的结论为条件，请证明BC2=DB·CE．
(2)如图②，等腰直角三角形ABC中，D、E分别在斜边CB和BC的延长线上，当BC2=
2DB·CE时，求∠DAE的度数．
(3)如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，D、E分别在底边CB和BC的延长线上，
当AB2=DB·CE时，求∠DAE的度数．
2015/7/15
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