第二课几何问题中的代数方法
问题引进
引例有一个三条边都是整数的直角三角形，其中一条直角边长是8，求它的周长.
点评这是一个几何问题，但根据勾股定理，得到的是一个二元二次方程m2一n2=82，只用几何知识是难以解决的．从代数角度看，这个问题其实就是求方程的正整数解.可见几何问题与代数方法如水乳交融、密不可分．实际上，数学是反映客观事物的空间形式和数量关系的科学，“图形”和“数量”只是表现同一事物的两种形态，这就是“数形结合”的本质所在．
一、以计算代推理
在解决几何问题时，我们通常会采用两种思路来考虑，一种是运用推理的方法，即从已知条件出发，依据定义、定理和性质等论证几何元素之间的关系；另一种就是运用计算的方法，通过计算的结果来说明几何对象之间存在的位置关系或数量关系．
先来看通过计算证明垂直关系．
例l如图3—2一l，△ABC中，AB=AC，D、E分别在AB、AC上，且AE=ED=DB，BE=BC，求证：DE⊥AC．
接下去这题是通过计算证明平行关系．
例2如图3—2—2．点D在AB边上，AD=2DB，DE∥BC交AC于E，点F在AE上，．求证：DF∥BE．
点评一般地，已知两条线段的比为坐，可以分别设这两条线段长度为mk、nk．再用k来表示其他线段的长,所以“设是”为进一步的计算创造了条件，最后计算时k往往互相抵消，说明“设k”只是一个中间过渡，但也确实不可省略．
再来看怎样通过计算证明线段之间的等量关系．
例3如图3—2—3,以Rt△ABC的两条直角边为边在三角形的外侧作正方形ACHG、正方形BCEF，联结AF、BG，分别交BC于N、交AC于M．求证：CM=CN．
点评由于正方形为我们提供了平行以及线段相等的背景，因而可以利用比例线段的相关性质进行计算，同时在计算时引入参数a和b，用线段“a、b来表示线段CM、CN的长，使整个证明过程显得十分简捷．
最后来看怎样通过计算证明角之间的等量关系．
例4如图3—2—4．正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，F是BC的中点，F在CD上，日CF=CD，AE交BD于G，EF交AC于H．求证：∠AHG=∠BAE．
点评本题通过两个锐角的同名三角比相等来证明这两个角相等．设AB=4a是为了简化分数计算；本题的难点和关键是求线段OG与OH的长．运用了重心定理和有关比例线段的知识．题目设计精当，解法巧妙，是运用代数计算方法进行几何推理的出色案例．本题有多种证明方法．较为简单的是利用O、G、E、H四点共圆(九年级第二学期的拓展内容)．
另外，由本题的图形还可以引出其他一些有价值的结论．例如∠AHG=∠CEF．△EGH是等腰直角三角形，△BEG∽△CFH．OH=BG等．
二、以方程作工具
借助方程解决问题的关键是寻找几何量之间的等量关系．以下是一组求三角形内接正
方形边长的题目．
例5如图3—2—6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，正方形CDEF的两边在直角边上，点E在AB上．求正方形CDEF的边长．
如果将正方形的位置换一下(如下题)，使内接正方形的一边在直角三角形的斜边上，如何求该正方形的边长?
例6如图3—2—7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，正方形DEFG的一边EF在AB上，D、G分别在AC、BC上．求正方形DEFG的边长．
点评关于直角三角形的内接正方形有两种情况，一是两边分别在两直角边上，一个顶点在斜边上；二是两个顶点在斜边上，另外两顶点分别在两直角边上，都是利用比例线段建立方程来求解．
对于一般的三角形．如何求它的内接正方形的边长呢?
例7如图3—2—9，△ABC中．AB=15，BC=14，AC=13，正方形DEFG的EF边在BC上．点D、G分别在AB、AC上，求正方形DEFG的边长．
点评解题的第一步是求高AH．如果直接设AH=x,用x表示BH=,
HC=．从BH+CH=BC，得到方程+=14，但是解这个方程比较麻烦，而采用间接设未知量的方法，设BH=x．得到的是一个整式方程，解起来方便多了．
下面再举一道与圆有关的例题,也是通过代数计算来实现几何证明．
例8如图3—2—11，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，tan∠A=．Ian∠D=．
C)求证：直线CD与⊙O相切：
(2)若BD=4，求⊙O的半径长．
点评本题的解题思路可以概括为：
(1)根据∠A和∠D的三角比引进比例系数k，用是来表示线段AE、CE、DE的长；
(2)在RtAOCE中，根据勾股定理求出是与r之间的关系式，这是“运用代数方法解题”的关键一步；
(3)由k与r之间的关系式验证∠D与∠OCE相等，并进而得到∠OCD=90°．
三、以函数为媒介
几何问题中的计算方法体现了“数形结合”的思想．我们经常会遇到图形上有运动的点，由于这个点的运动引起了相关的线段、角、面积的变化．这里就体现了函数的思想．有时
候虽然图形中没有明确指出有动点，但我们也可以把一条线段的长作为自变量，用它来表
示其他线段的长，也就是把其他线段的长当作这条线段长的函数，求出它们之间的函数关
系，再借助于这种函数关系来解决问题．在几何中这也是一种常用的方法．
例9如图3—2一13，锐角三角形ABC中，高AD、BE相交于H，AD=BC，M是BC的中点，联结MH，求证：DH+MH=BC．
点评本题的解题思路是按照函数思想展开的，首先在“AD=BC=常量“a”的前提下，把点D看成BC．上的一动点．MD作为变量x，随着点D的运动，DH和MH的长度在变
化，它们都是x的函数，求出它们的关系式．得出它们的和是一个常量，由此完成了推理过程．
本题也可以用命题的形式表述为：如果三角形一边上的高等于这条边长，那么该三角形的垂心到这条边中点的距离与垂心到这条边的距离之和等于这条边的边长的一半．
例10如图3—2—14，△ABC中，∠A=90°，AC=8，AB=6，点P、Q同时从A出发沿着△ABC的边运动，点P沿AB向B，再折向C，点Q沿AC向C，两点都作匀速运动，又同时到达点C便停止运动．当线段PQ将△ABC分为两部分的面积之比为2：1时，求AQ的长．
点评在本题中，以x为自变量，△APQ或△CPQ的面积为函数，根据S△ApQ=8或S△cpQ=8建立方程，由此求出点Q的位置，采用了“从函数关系向方程转化”这一思路，这是一种“几何函数”的思想．
卷11第二课
“几何问题中的代数”
(时间60分钟满分l()()分)
一、选择题(每题3分．共12分)
1、如图，△ABC中,∠ACB=90°若D、E在AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE的度数为()
(A)30°；(B)45°；(L、)67．5°：(I))不可求．
2．如图．∠B=∠D=90°，AB=3，BD=7，CD=4，若点P在BD上．△ABP与APDC相似．则符合条件的点P有()
(A)4个；(B)3个；(C)2个；(D)1个．
3．如图，等边三角形ABC中．若DE∥BC．△ADE的周长与四|边形BCED的周长相等．则S△ADE：S四边形BCED的值为()
(A)1；(B)；(C)；(D)．
4．如图，△ABC中，∠C=90°，若两直角边上的中线长分别为AD=5．BE=2．则斜边AB的长为()
(A)6；(B)；(C)；(D).
二、填空题(每题3分．共36分)
5．若正多边形一个内角的度数足中心角的4倍．则正多边形的边数是．
6．△ABC中，若∠C=90°．AB=3BC，AC=4，则BC=
7．如图，矩形ABCD中．AB=4，BC=6，若M是BC的中点，则点D到AM的距离DN为
8．梯形ABCD中．以D∥BC．AB=DC=2．上底AD=5．若点P在AD上，且∠BPC=∠A．则AP=．
9．若直角三角形两直角边之和为18，面积为36，则两直角边长分别为．
10．如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E在AD上．若将矩形沿BE折叠，使点A落在DC上的点A′处，则AE的长为．
11．如图l，△ABC中．DE∥BC，若S△ADE=4，S△BCE=24．则S△BDE=
12．如图．小球从点A射向直线MN、上的点P，再反弹到点B，作AC⊥MN，BD⊥MN，垂足分别为C、D．若AC=2．CD=9，BD=4，则小球经过的路径长为．
13．如图，△ABC中．AB=AC，D、E分别在AB、AC上．若AE=ED=DB，EC=BC，则∠A的度数是．
14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PN⊥BC，垂足为N，PM⊥AB交AC于M．若PM=PN，则AP的长度为．
15．如图，点D在等边三角形ABC的内部．△DBC是等腰直角三角形．若AD=2，则BC=
16．Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，已知AD：BC=3：2，则∠A=度
解答题(第17至20题各10分，第21题12分．共52分)
17、如图．等腰三角形ABC的周长等于36，底边BC与高AD的和等于22，求△ABC的三边长．
18．如图．以矩形ABCD的顶点D为圆心、DC为半径作圆交AD于E．联结并延长BF交⊙D于F．联结并延长FD交BC延长线于G．已知AB=3，BC=4．
C)求CG的长；
(2)求△BFG的面积．
19．如图．∠ACB=90°．AC=BC，以C为圆心、CA为半径作AB，OP与以CA为直径的⊙Q外切．与内切，与BC相切．求证：PC=PQ．
20．如图一在正方形ABCD中．N是CD的中点，点M在AD上，且∠BMN=∠MBC．
求AM：MD的值．
21．如图，△ABC中，∠BAC=45°，BC=5，高AD=6．求BD、DC的长．
2015/8/6
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