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2005试题及答案 布谷鸟 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共501?2?3???n ＝( ) 2n??n 1 (A) 2 (B) 4 (C) (D)0 2 1．lim 2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( ) (A) 13 (B) (C) (D) 22 2 2 |x?1|?2,|x|?1, 1? 3．设f(x)＝?1，则f[f()]＝( ) 2, |x|?1?2 1?x 14925 (B) (C)－ (D) 213541 i2 4．在复平面内，复数＋(1＋3i)对应的点位于( ) 1?i (A) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 5．在(1－x)＋(1－x)＋(1－x)＋(1－x)的展开式中，含x的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 6．设?、? 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l??，m??，有如下的两个命题：①若?∥ 5 6 7 8 3 ，则l∥m；②若l⊥m，则?⊥?．那么 (A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 7．设集合A＝(x,y)|x,y,1?x?y是三角形的三边长，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( ) (A) (B) (C) (D) 8．已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1 9．设f(n)＝2n＋1(n∈N)，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，记P＝{n∈N|f(n)∈P}，Q＝{n∈N|f(n)∈Q}，则(P∩eNQ)∪(Q∩eNP)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7} 10．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则 ????????????(A) a⊥e (B) a⊥(a－e) (C) e⊥(a－e) (D) (a＋e)⊥(a－e) 第Ⅱ卷 (非选择题 共100分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16 11．函数y＝ x (x∈R，且x≠－2)的反函数是_________． x?2 12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于 N图)．现将△面BCDE内的_________． x2y2 13．过双曲线2? 2?1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于 ab x轴的直线与 双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 14．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)． 三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84 15．已知函数f(x)＝－3sinx＋sinxcosx． (Ⅰ) 求f( 2 25? )的值； 6 (Ⅱ) 设?∈(0，?)，f( 1 )＝，求sin?的值． 42 16．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＝2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式； (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|． 17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1,F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为 2 M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，求点Q的坐标(用m表示)． ?F1PF2最大的点P记为Q， 使 18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)当k＝ 1 时，求直线PA与平面PBC所成角的大2 小； △PBC的重心？ (Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为 19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是 1 ，从B中摸出一个红球的概3 率为p． (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为?，求随机变量?的分布率及数学期望E?． (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 2 ，求5 p的值． n?1 20．设点An(xn，0)，P)和抛物线Cn：y＝x＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－n(xn,2 2 12n?1 ，xn由 以下方法得到： x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…， n点P n?1的距离是An 到Cn 上点的最短距离．n?1(xn?1,2)在抛物线Cn：y＝x＋an x＋bn上，点An(xn，0)到P 2 2 (Ⅰ)求x2及C1的方程． (Ⅱ)证明{xn}是等差数列． 2005试题及答案 参考答案 5分，满分50（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 4分，满分16（11）y? 2x （12）90?；（13）2；（14）8424 ?x?R,且x?1?； 1?x 三、解答题： （1514 解：（1 ）?sin 25?125?
,cos? 626?25? f?
625?25??225??
sincos?? 666? （2）f?x??
12xsin2x
2 11??? f?????sin??
24?2?16sin2??4sin??11?0， 解得sin?? 1? 8
0,??,?sin??0 故sin?? 1? 8 （1614解：(Ⅰ)设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，则 x0?x 0,??x0??x,?2 即 ?? y?yy??y.?0 0,?0 2 ∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上 ∴?y?x?2x，即y??x?2x, 故g?x???x?2x 2 2 2 (Ⅱ)由g?x??f?x??x?， 可得2x?x??0 2 当x?1时，2x?x?1?02 2 当x?1时，2x?x?1?0，解得?1?x? 因此，原不等式的解集为??1,2 1（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本14x2y2 解：(Ⅰ)设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?，半焦距为c，则 ab a2 MA1??a,A1F1?a?c c?a2 c?a?2?a?c??? a?2,b?c?1 由题意,得?2a?4 a2?b2?c2?
x2y2 故椭圆方程为??1. 43 (Ⅱ) 设P?m,y0?,|m|?1， 当y0?0时，?F1PF2?0； 当y0?0时，0??F2PF2??PF1M? 2 ， 只需求tan?F2PF2设直线PF1的斜率k1? y0y0 ，直线PF2的斜率k2?，
m?1m?1 tan?F2PF2? 2|y0|k2?k1?2?? 21?k1k2m?1?y0
|y0|时，?F1PF2最大，
Qm,,|m|?1 （18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力 14解：方法一： (Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，? OD∥PA A 又PA?平面PAB， ? OD∥平面PAB (Ⅱ)? AB?BC，OA?OC， ? OA?OB?OC， 又? OP?平面ABC，? PA?PB?PC. 取BC中点E，连结PE，则BC?平面POE 作OF?PE于F，连结DF，则OF?平面PBC ? ?ODF是OD与平面PBC所成的角. 又OD∥PA， PA与平面PBC所成的角的大小等于?ODF，
在Rt?ODF中，
sin?ODF? OF? OD ? PA与平面PBC所成的角为（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF?平面PBC，∴F是O在平面PBC∵D是PC的中点， 若点F是?PBC的重心，则B，F，D三点共线， ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，
OB?PC,?PC?BD,?PB?PC，即k?反之，当k?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为?PBC方法二： OP?平面ABC，OA?OC,AB?BC， OA?OB,OA?OP,OB?OP. 以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O?xyz设AB?
a,则A?????,0,0,B,C??????????， ?????? 设OP?h，则P?0,0,h? (Ⅰ)?D为PC的中点，
1? OD??,0,h?，
2?? 1??? 又PA???2a,0,?h??,?OD??2PA,?OD//PA， OD∥平面PAB 1? ,?PA??a,0,?(Ⅱ)?
k?，即PA?2a,?h?， 2??2??可求得平面PBC
的法向量n??1,?1,?，
PA?n?
cos?PA,n??|PA|?|n| 设PA与平面PBC所成的角为?，则
， sin??|cos?PA,n?|??1?
PBC（Ⅲ）的重心G??a,3h??，
1? OG??,h?， 3?? OG?平面PBC,?OG?PB，
1212????????,?h,?OG?PB?a?h?0,?h?，
又PB?????63?? PA?a，即k?1， 反之，当k?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为?PBC（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑14?1??2?18 解：(Ⅰ)（i）C???????? 3??3?381 24 22 (ii)随机变量?的取值为0，1，2，3，； kk 由n次独立重复试验概率公式Pn?k??Cnp?1?p? n?k ，得 32?1? ； P???0??C??1??? 3?243 05 5 1?8011? P???1??C5???1??? 3?3?24380?1??1? P???2??C?????1??? 3??3?243 25 2 3 4 32?80?21717?1?3?1??（或P???3??1?） P???3??C5?????1??? 243243?3??3?243 随机变量?的分布列是 32 P 0 1 2 3 32808017 243243243243 的数学期望是 E?? 32808017?0??1??2??3?243243243243(Ⅱ)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m1 m?2mp132由?，得p? 303m5 （20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，以及综合运用所学知识14解：（Ⅰ）由题意得A,0?,C1:y?
x?7x?b1， 1?1 2 设点P
x,y?是C1上任意一点， 则|A1P|? 2 令f?x???x?1??x?7x?b1 2 2 2 则f??x??2?x?1??2x?7x?b1 2x?7? 7??0 由题意得f??x2??0， 2 即2?x2?1??2x2?7x?b1 2x 2 2 又P在上，C?2?xx,2??12?7x2?b1 22 解得x2?3,b1?14 故C1的方程为y?x2?7x?14 (Ⅱ)设点P?x,y?是Cn上任意一点， 则
|AnP|?
2 令g?x???x?xn??x?anx?bn 2 2 2 则g??x??2?x?xn??2x?anx?bn 2x?a? n 由题意得g??xn?1??0 2 即2?xn?1?xn??2xn?1?anx?bn 2x n?1 an??0 又?2?xn?1?anxn?1?bn， n2 xn?1?xn??2n?2xn?1?an??0?n?1?， n?1 xn?1?xn?2nan?0即1?2 *? 下面用数学归纳法证明xn?2n?1， ①当n?1时，x1?1，等式成立； ②假设当n?k时，等式成立，即xk?2k?1， k?1xk?1?xk?2kak?0， 则当n?k?1时，由?*?知1?2?? xk?2kak1?2k?1， 又ak??2?4k?k?1，?xk?1?k?121?2 即n?k?1由①②知，等式对n?N成立， 故?xn?* 转载请保留出处，http://www./doc/info-ffa4074fc1c708a1294a445f.html |
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