高中数学典型例题解析（第六章立体几何初步2）

§6.3平面与平面之间的位置关系

一、基础知识导学

1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.

2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.

3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.

4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算； 二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).

二、疑难知识导析

1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.

2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.

3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.

4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.

5．注意二面角的范围是，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.

三、经典例题导讲

[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（    ）.

A.α+β<90⁰    B.α+β≤90⁰   C.α+β>90⁰  D.α+β≥90⁰

错解:A.

错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.

正解：B.

[例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（   ）.

A．90°      　B．60°  　  　C．50°      　D．45°

错解:A.

正解：C

[例3]已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_____.

错解：.用面积射影公式求解：S_底=S截=.

错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.

正解：.

[例4]点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．

（1）求的大小；

（2）求二面角的大小．

错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.

正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．

 

 

 

 

 

 

 

 

因为二面角D－AC－B为直二面角，

 

又在中，，

．

． 

（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．

∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．

∴就是二面角的平面角．

在RtEGM中，，，，

∴．∴．

所以，二面角的大小为

[例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线和α、β、γ分别交于A、B、C，AC＝12，则AB＝      ，BC＝        .

解:作′⊥α，

∵　α∥β∥γ，∴　′与β、γ也垂直，

′与α、β、γ分别交于A₁、B₁、C₁.

因此，A₁B₁是α与β平面间的距离，B₁C₁是β与γ平
面间的距离，A₁C₁是α与γ之间的距离.　　

∴　A₁B₁＝5，B₁C₁＝3，A₁C₁＝8，又知AC＝12

AB= ， ，BC= .

答：AB= ，BC＝ .

[例6] 如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.

解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE

又∵α∥β，∴　AF∥BE

同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补

由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=　

由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=　

又∵△ACF的面积为72，即 ＝72

S=

=,

答：△BDE的面积为84平方单位.

[例7]如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心.

（1）求证：平面MNG∥平面ACD

（2）求S：S

解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H

∵　M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，

则有：

连结PF、FH、PH有MN∥PF

又PF 平面ACD

∴　MN∥平面ACD

同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M

∴　平面MNG∥平面ACD.

（2）由（1）可知：

∴MG=，又PH=

∴MG=　 ，

同理：NG= ，

∴　△MNG∽△ACD，其相似比为1：3

∴S：S₌　1：9

 

[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.

(1)求证：EFGH是矩形.

(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.

(1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF

同理HG∥CD.∴EF∥HG

同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形

由CD∥EF，HE∥AB

∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角，

又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.

(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n

∴

由HE∥AB

∴

又∵四边形EFGH为矩形

∴S_矩形EFGH＝HE·EF＝·b·a＝ab

∵m＋n≥2，∴（m＋n）²≥４mn

∴≤，当且仅当m＝n时取等号，即E为BD的中点时,

S_矩形EFGH=ab≤ab，

    矩形EFGH的面积最大为ab.

点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.

四、典型习题导练

1. 山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米．

2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．

 

3. 在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．

4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，

且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.

  求证：平面ABC⊥平面BSC.
           

5. 已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.

§6.4空间角和距离

一、知识导学

1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.

2．掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.

二、疑难知识导析

1．求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.

2．求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.

3．空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得

4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.

5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.

三、经典例题导讲

[例1]　平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________.

错解：.

错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况.

正解：  .

[例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个.

错解：4个.

错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.

正解：7个.

[例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（      ）

A.   　　　B.   　　　C. 　　　 D.  

错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.

正解：D.

当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多

最多可盛原来水得1－

[例4]斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA₁与底面相邻两边AB、AC都成45⁰角，求这个三棱柱的侧面积.

错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA₁垂直于M”；三是由条件“∠A₁AB=∠A₁AC∠AA₁在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证.

正解：过点B作BM⊥AA₁于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=45⁰，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90⁰，∴AA₁⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin45⁰=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S_侧=(1+)ab

[例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；AB α，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离.

解 : 本题应分两种情况讨论：

（1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，则于是.

根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB.

在Rt△ABF中，AF=

过D作DEAC于E，则DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故

CD=

(2)如上右图.C，D在α两侧时：同法可求得CD=

点 评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解.

[例6]如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.

（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；

（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.

并证明你的结论.

解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.

（2）可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点O₁，因为

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直。

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)

所以

又由知，为平面的一个法向量。

设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。

（2）若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，等价于D₁Q⊥AP即Q为A₁C₁的中点时，满足题设要求。

[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB，

求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；

（2）D点到平面PBC的距离．

解: （1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则∠EPD=90°，PD⊥PE

又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．

∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD．

由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．

（2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，

因此平面PDC⊥平面PBC，

作DH⊥PC，H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离．

在Rt△PDC中，，DC=2，，．

平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan，D到平面PBC的距离为.

[例8] 半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的 球面距离都是，B与C的球面距离是，求过A、B、C三点的截面到球心O距离．

分析 ： 转化为以球心O为顶点，△ABC为底面的三棱锥问题解决．

由题设知△OBC是边长为1的正三角形，△AOB和△AOC是腰长为1的全等的等腰三角形．

取BC中点D，连AD、OD，易得BC⊥面AOD，进而得面AOD⊥面ABC，过O作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长即为

所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=

点评： 本题若注意到H是△ABC的外心，可通过解△ABC和△AHO得OH．或利用体积法．

四、典型习题导练

1．在平面角为60⁰的二面角内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱的距离为____________.

2．异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线，使与a ,b 所成的角均为，这样的直线有         条.

3．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A₁到平面EFB₁D₁的距离为             

4.二面角－－内一点P，分别作两个面的垂线PA、PB，A、B为垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距离．

5.ABCD是边长为4的正方形，CG⊥面ABCD，CG = 2．E、F分别是AD、AB的中点．求点B到面EFG的距离．

6.如图：二面角α--β为锐角，P为二面角内一点，P到α的 距离为，到面β的距离为4，到棱的距离为，求二面角α- -β的大小.

7.如图，已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.

(1)求点A到平面B₁BCC₁的距离；

(2)当AA₁多长时，点A₁到平面ABC与平面B₁BCC₁的距离相等.

 

 

§6.5空间几何体及投影

一、知识导学

1.  了解投影（投影线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法）、中心投影（投射线交于一点的投影称为中心投影）、平行投影（投影线互相平行的投影称为平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正对着投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正对着投影面的投影）的概念.

2.  了解三视图的有关概念（视图是指将物体按正投影向投影面投　射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图）;了解三视图画法规则，能作出物体的三视图.

3.  注意投影和射影的关系，以及在解题中的作用.

二、疑难知识导析

1．三视图间基本投影关系的三条规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正，高平齐，宽相等”；看不见的画虚线.

2．主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.

 

 

 

 

三、经典例题导讲

[例1]如图，该物体的俯视图是（　）.

 

 

 

 

错解：B.

错因：投影方向不对.

正解：C.

[例2] 如图所示的正方体中，E、F分别是AA₁,D₁C₁的中点，G是正方形BDB₁D₁的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（ ）

A                B              C               D

错解：C.

正解：D

 [例3]水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A₁B₁C₁，则△ABC是（   ）

A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　　C. 钝角三角形   　D. 任意三角形

错解：B.

错因：不熟悉斜二侧画法的规则.

正解:C.

[例4] 正方体的全面积是a²，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（  ）.

A.         B.         C.             D.

错解：A.

错因：对正方体和球的关系理解不清.

正解:B.正方体的对角线就是球的直径.

[例5]如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S₁，S₂，则必有（   ）

A.S₁<S₂B.S₁>S₂C.S₁=S₂D.S₁，S₂的大小关系不能确定

解：连OA、OB、OC、OD

则V_A－BEFD＝V_O－ABD＋V_O－ABE＋V_O－BEFD

V_A－EFC＝V_O－ADC＋V_O－AEC＋V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S_ABD＋S_ABE＋S_BEFD＝S_ADC＋S_AEC＋S_EFC又面AEF公共，故选C

[例6]正三棱台A₁B₁C_1-ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值.

解：解法一　　如图，设O₁，O为上下底面正三角形的中心，连接O₁O，A₁O₁交A₁B₁于D₁，AO交AB于D.连接D₁D.易证A₁O₁⊥B₁C₁，AD⊥BC，D₁D⊥BC，过A₁，D₁分别作A₁E⊥底面ABC，D₁F⊥底面ABC，易证E、F在AD上.

因为正三棱台A₁B₁C_1-ABC的侧面与底面成45°的二面角，所以∠D₁DA=45°.因此A₁E=O₁O=D₁F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则AD=b,A₁D₁=a.

所以  A₁E=O₁O=D₁F=FD=b-= (b-a).

AE=(b-a).

所以  tan∠A₁AE=.

解法二　如图，延长AA₁，BB₁，CC₁，则AA₁，BB₁，CC₁相交于一点S.显然点S在DD₁的延长线上.由解法一得知，∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.

所以  在RtΔSOD中，SO=OD，

因为  AO=2·OD，所以  tan∠SAO=.

点评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.

[例7] 粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算：

（1）这个下料斗的体积；

（2）制造这样一个下料斗所需铁板的面积（保留两个有效数字）？

 

分析：要求下料斗所需铁板的面积，就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是S_侧＝（c＋c＇）h＇.

解：（1）因为S_上＝440²mm²，S_下＝80² mm²，h＝200 mm

       

（2）下底面周长c＇＝4×80＝320mm，

      下底面周长c＝4×440＝1760mm，

      斜高h＇＝

      S_正棱台侧＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×10⁵（mm²）

答：这个下料斗的体积约为1.6×10⁷mm³，制造这样一个下料斗需铁板约2.8×10⁵mm².

点评：对于实际问题，须分清是求几何体的表面积，还是求侧面积，还是求侧面积与一个底面面积的和，还是求体积.

四、典型习题导练

1．一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为（　）

A．长方形、圆、矩形             B．矩形、长方形、圆

C．圆、长方形、矩形             D．长方形、矩形、圆

2．直角三角形绕它最长边（即斜边）旋转一周得到的几何体为（　）

3.下列平面图中不能围成立方体的是（　）.

4．从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成_____个三角形．

5. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.