第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算1．平面向量的实际背景及基本概念．(1)了解向量的实际背景．(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．(3)理解向量的几何表示．2．向量的线性运算．(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．(2)掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义．3．平面向量的基本定理及坐标表示．(1)了解平面向量的基本定理及其意义．(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．记作____长度为零的向量；其方向是任意的零向量平面向量是自由向量既有大小又有______的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)向量备注定义名称1．向量的有关概念方向0记作a＝b长度相等且方向______的向量相等向量零向量与任一向量平行或共线方向相同或______的非零向量 共线向量(平行向量) a非零向量a的单位向量为± |a|长度等于1个单位的向量单位向量备注定义名称（续表）相同相反(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三角形法则平行四边形法则求两个向量和的运算加法运算律法则(或几何意义)定义向量运算2.向量的线性运算λ(μa)＝_____;(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝________(1)|λa|＝________(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______求实数λ与向量a的积的运算数乘a－b＝a＋ (－b)三角形法则求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差减法运算律法则(或几何意义)定义向量运算（续表）|λ||a|相反λμa0λa＋λb 3.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 4．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘及向量的模：(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．5．共线向量及其坐标表示(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．2．化简AC－BD＋CD－AB＝(→→→1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)C．(1,7)B．(7,7)D．(1,3)→→→→)DA.ABC.BCB.DAD．0A→→→图4-1-1A．0B.BEC.ADD.CFD4．已知把向量a＝(1,1)向右平移2个单位，再向下平移1(1,1)个单位得到向量b，则b的坐标为______． 解析：因为向量b＝a，所以b＝(1,1)．考点1平面向量的基本概念答案：D【互动探究】CC考点2向量共线或平行问题例2：(1)(2013年广东惠州二模)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝()A．2C．－3B．－2D．3解析：a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a＋b＝(2，m＋1)．∵a∥(a＋b)，∴－(m＋1)＝2，m＝－3.故选C.答案：C 【规律方法】(1)用坐标给出的两个向量平行或共线问题的处理方法：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0. (2)一般的两个向量平行或共线问题的处理方法：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a?b＝λa(a≠0)．【互动探究】3．(2013年陕西)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m＝()C4．(2012年广东广州调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝()AA．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1) 解析：因为a∥b，有2×(－2)＝1×x，x＝－4，则a＋b＝(－2，－1)．解析：a∥b，有m2＝2，m＝±.考点3向量的应用 例3：在平面直角坐标系xOy中,已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;【互动探究】5．如图4-1-2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．图4-1-21．(2014年新课标)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝()
A.B.C.D.
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