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2015年湖南省高考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1.(5分)(2015?湖南)已知=1+i(i为虚数单位)，则复数z=()
A.1+i
B.1﹣i
C.-1+i
D.-1﹣i
解析∵已知=1+i(i为虚数单位)，
∴z===﹣1﹣i.
答案：D
2.(5分)(2015?湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图
所示.若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7人，则其中
成绩在区间[139，151]上的运动员人数是()
A.3
B.4
C.5
D.6
解析：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系
数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，
所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；
答案B
3.(5分)(2015?湖南)设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析：因为x∈R，“x＞1“?“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件.
答案：C
4.(5分)(2015?湖南)若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为
()
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，
联立，解得A(0，1).
∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1.
答案：A
5.(5分)(2015?湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=()
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A.
B.
C.
D.
解析：判断前i=1，n=3，s=0，
第1次循环，S=，i=2，
第2次循环，S=，i=3，
第3次循环，S=，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S==
=
答案：B
6.(5分)(2015?湖南)若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3，﹣4)，则此双曲线的离
心率为()
A.
B.
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C.
D.
解析：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3，﹣4)，可得3b=4a，即9(c2﹣a2)=16a2，
解得=.
答案：D
7.(5分)(2015?湖南)若实数a，b满足+=，则ab的最小值为()
A.
B.2
C.2
D.4
解析：∵+=，
∴a＞0，b＞0，
∵(当且仅当b=2a时取等号)，
∴，
解可得，ab，即ab的最小值为2，
答案：C
8.(5分)(2015?湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)，则f(x)是()
A.奇函数，且在(0，1)上是增函数
B.奇函数，且在(0，1)上是减函数
C.偶函数，且在(0，1)上是增函数
D.偶函数，且在(0，1)上是减函数
解析：函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)，函数的定义域为(﹣1，1)，
函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x)，所以函数是奇函数.排
除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f(0)=0；x=
时，f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3＞1，显然f(0)＜f()，函数是增函数，所以B错
误，A正确.
答案：A
9.(5分)(2015?湖南)已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，
0)，则||的最大值为()
A.6
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B.7
C.8
D.9
解析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|.
所以B为(﹣1，0)时，|4+|≤7.所以||的最大值为7.
答案：B
10.(5分)(2015?湖南)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积
尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的
利用率为(材料利用率=)()
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，
所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则
，解得x=，所以正方体的体积为，所以原工件材
料的利用率为：=；
答案：A
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
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11.(5分)(2015?湖南)已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪(?UB)=
{1，2，3}.
解析：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，
所以?UB={2}，所以A∪(?UB)={1，2，3}.
答案：{1，2，3}
12.(5分)(2015?湖南)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，则曲线C的直角坐标方程为x2+(y﹣
1)2=1.
解析：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：
x2+y2=2y，即x2+(y﹣1)2=1.
答案：x2+(y﹣1)2=1
13.(5分)(2015?湖南)若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r＞0)相交于A，B两点，且
∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r=2.
解析：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r＞0)交于A、B两点，O为坐标原点，
且∠AOB=120°，则圆心(0，0)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，
即=r，解得r=2，
答案：2
14.(5分)(2015?湖南)若函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b
＜2.
解析：由函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，
从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，
结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，
故答案为：0＜b＜2
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15.(5分)(2015?湖南)已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离
最短的两个交点的距离为2，则ω=.
解析：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点，
∴根据三角函数线可得出交点((k1，)，((k2，)，k1，k2都
为整数，
∵距离最短的两个交点的距离为2，
∴这两个交点在同一个周期内，
∴12=()2+()2，ω=
答案：
三、解答题
16.(12分)(2015?湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，
抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白
球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.
(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为
正确吗？请说明理由.
解析：
(Ⅰ)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；
(Ⅱ)在(Ⅰ)中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得
概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的.
答案：
(Ⅰ)所有可能的摸出的结果是：
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{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，
{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}；
(Ⅱ)不正确.理由如下：
由(Ⅰ)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：
{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，
∴中奖的概率为.
不中奖的概率为：1﹣.
故这种说法不正确.
17.(12分)(2015?湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA.
(Ⅰ)证明：sinB=cosA；
(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C.
解析：
(Ⅰ)由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA.
(Ⅱ)由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由
(1)sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角
形内角和定理可求C.
答案：
(Ⅰ)证明：∵a=btanA.
∴=tanA，
∵由正弦定理：，又tanA=，
∴=，
∵sinA≠0，
∴sinB=cosA.得证.
(Ⅱ)∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由(1)sinB=cosA，
∴sin2B=，
∵0＜B＜π，
∴sinB=，
∵B为钝角，
∴B=，
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又∵cosA=sinB=，
∴A=，
∴C=π﹣A﹣B=，
综上，A=C=，B=.
18.(12分)(2015?湖南)如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F
分别是BC，CC1的中点，
(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(Ⅱ)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积.
解析：
(Ⅰ)证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判
定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；
(Ⅱ)取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥
的高与底面面积即可求解几何体的体积.
答案：
(Ⅰ)证明：∵几何体是直棱柱，
∴BB1⊥底面ABC，AE?底面ABC，
∴AE⊥BB1，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，
∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，
∴AE⊥平面B1BCC1，
∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1；
(Ⅱ)取AB的中点G，连结A1G，CG，由(Ⅰ)可知CG⊥平面A1ABB1，
直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，
∴AA1==，CF=.
三棱锥F﹣AEC的体积：×==.
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19.(13分)(2015?湖南)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，
n∈N，
(Ⅰ)证明an+2=3an；
(Ⅱ)求Sn.
解析：
(Ⅰ)当n≥2时，通过an+2=3Sn﹣Sn+1+3与an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3作差，然后验证当n=1时命题也成
立即可；
(Ⅱ)通过(I)写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可.
答案：
(Ⅰ)证明：当n≥2时，由an+2=3Sn﹣Sn+1+3，
可得an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3，
两式相减，得an+2﹣an+1=3an﹣an+1，
∴an+2=3an，
当n=1时，有a3=3S1﹣S2+3=3×1﹣(1+2)+3=3，
∴a3=a1，命题也成立，
综上所述：an+2=3an；
(Ⅱ)由(I)可得，其中k是任意正整数，
∴S2k﹣1=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k﹣3+a2k﹣2)+a2k﹣1
=3+32+…+3k﹣1+3k﹣1
=+3k﹣1
=×3k﹣1﹣，
S2k=S2k﹣1+a2k=×3k﹣1﹣+2×3k﹣1=﹣，
综上所述，Sn=.
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20.(13分)(2015?湖南)已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1(a＞b＞0)
的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2
相交于C，D两点，且与同向.
(Ⅰ)求C2的方程；
(Ⅱ)若|AC|=|BD|，求直线l的斜率.
解析：
(Ⅰ)通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y
轴对称可得，计算即得结论；
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，通过=可得(x1+x2)2﹣
4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方
程，利用韦达定理计算即可.
答案：
(Ⅰ)由C1方程可知F(0，1)，
∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，
又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，
∴易得C1与C2的公共点的坐标为(±，)，
∴，
又∵a2﹣b2=1，
∴a2=9，b2=8，
∴C2的方程为+=1；
(Ⅱ)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
∵与同向，且|AC|=|BD|，
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∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4，
设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，
由，可得x2﹣4kx﹣4=0，
由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
由，得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0，
由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，
又∵(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4，
∴16(k2+1)=+，
化简得16(k2+1)=，
∴(9+8k2)2=16×9，解得k=±，
即直线l的斜率为±.
21.(13分)(2015?湖南)已知a＞0，函数f(x)=aexcosx(x∈[0，+∞])，记xn为f(x)的从小
到大的第n(n∈N)个极值点.
(Ⅰ)证明：数列{f(xn)}是等比数列；
(Ⅱ)若对一切n∈N，xn≤|f(xn)|恒成立，求a的取值范围.
解析：
(Ⅰ)求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；
(Ⅱ)由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n＞4n+3，当a≥π时，验证得
|f(xn+1)|＞xn+1，即可得到a的范围.
答案：
(Ⅰ)证明：函数f(x)=aexcosx的导数为f′(x)=aex(cosx﹣sinx)，
a＞0，x≥0，则ex≥1，
由f′(x)=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+，k=0，1，2，…，
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当k为奇数时，f′(x)在kπ+附近左负右正，
当k为偶数时，f′(x)在kπ+附近左正右负.
故x=kπ+，k=0，1，2，…，均为极值点，
xn=(n﹣1)π+=nπ﹣，
f(xn)=acos(n)，f(xn+1)=acos(nπ+)，
当n为偶数时，f(xn+1)=﹣eπf(xn)，
当n为奇数时，f(xn+1)=﹣eπf(xn)，
即有数列{f(xn)}是等比数列；
(Ⅱ)由于x1≤|f(x1)|，则≤a，
解得a≥π，
下面证明8n＞4n+3.
当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8k＞4k+3，
当n=k+1时，8k+1=8?8k＞8(4k+3)=32k+24
=4(k+1)+28k+20＞4(k+1)+3，
即有n=k+1时，不等式成立.
综上可得8n＞4n+3(n∈N+)，
由eπ＞8，
当a≥π时，
由(Ⅰ)可得|f(xn+1)|=|(﹣eπ)|n|f(x1)|
＞8n|f(x1)|=8nf(x1)＞(4n+3)x1＞xn+1，n∈N+，
综上可得a≥π成立.
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