基本不等式应用总结

利用基本不等式求函数最值

12 (2)①已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值； x

4②已知x<3，求f(x)＝x的最大值． x－3

“配凑法”求最值

4例 （1）已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值． x－3

3(2)设0<><，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；><="" p=""><，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；>

9．若a＞1，则a＋

A．0

C.a a－1

11＝a－1＋＋1 a－1a－11的最小值是( ) a－1B．2 D．3 解析： a＋

∵a＞1，∴a－1＞0

∴a－1＋1＋1≥2＋1＝3. a－11a＝2时取等号． a－1当且仅当a－1＝

答案： D

(2)常值代换

这种方法常用于

11①“已知ax＋by＝m(a、b、x、y均为正数)，求xy

ab②“已知x＋y＝1(a、b、x、y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．

“1”的代换技巧．

19（1）已知x>0，y>0，且＋1，求x＋y的最小值； xy

变式1：设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．变式2．设正数a，b满足：a+4b=2

，则的最小值为．

xy5．已知x，y∈R＋，且满足341，则xy的最大值为________．

xy解析： 由3＋4＝1为定值知

xy3＋42xyxy＝3412(2)＝3.

xy∴当且仅当3＝4时xy有最大值3.

答案： 3xy解析： 由3＋4＝1为定值知

xy3＋42xyxy＝3412(2)＝3.

xy∴当且仅当＝时xy有最大值3. 34

答案： 3

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由题意可得=（a+4b）

（）=（

5++），由基本不等式可得． 解答： 解：∵正数a，b满足a+4b=2， ∴=（a+4b）

（

+）≥（5+2） ）

=， =（5+当且仅当=即

xy5．已知x，y∈R＋，且满足341，则xy的最大值为________．a=且注意与此题的对比：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )

8.若正实数x,y满足x?y?1?xy，则x?2y的最小值是

A. 3 B.5 C.7 D.8

(3)构造不等式

当和与积同时出现在同一个等式中时，可“利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围”．

例 “已知a，b为正数，a＋b＝ab－3，求ab的取值范围”．

分析：可构造出不等式2ab≤a＋b＝ab－3，即(ab)2－2ab－3≥0. 例3 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求：

b=时取等号， ∴所求的最小值为， 故答案为：(1)ab的取值范围； (2)a＋b的取值范围

变式：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )

9A．3 B．4 C.2

x＋2y?2 解析： ∵2xy≤??2?

x＋2y?2 ∴8－(x＋2y)≤??2?

即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0

∴x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍)．

答案： B

2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且要掌握它的变形及公式的

a＋b2a2＋b2a＋b逆用等，例如ab≤(2≤2ab≤2

Ax2＋Bx＋Cx总结形如y＝或y＝的一类函数的值域或最值的求xAx＋Bx＋C

法．

a＋b2(a>0，b>0)等． 112

(2)已知

x＋1x>－1，求函数y＝x>－1)的最大值为 x＋5x＋6

x6．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． x＋3x＋1

（3）若a,b?R?，满足ab?a?b?3，求ab的取值范围；

3）由基本不等式a?b?2ab,(a,b?R?)得

ab?a?b?3?2?3?ab?2ab?3?0?(ab?3)(ab?1)?0 所以ab?3或ab??1（舍去），因此ab?9，当且仅当a?b?3时取等号，即ab的取值范围为[9,??).

(1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．

(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等．

（2014·金华模拟）若正实数x，y满足x+y+1=xy，则x+2y的最小值是（ ）

A．3B．5C．7D．8