江苏省2016年高考优题精练
立体几何
一、填空题
1、（2015年江苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____________________。
2、（2014年江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，，则▲．
中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则。
4、（2015届南京、盐城市高三二模）已知平面α，β，直线，给出下列命题：
①若，，则，②若，，则，③若，则，④若，，则.
其中是真命题的是。（填写所有真命题的序号）。
5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））如图，在长方体中，3cm，2cm，1cm，则三棱锥的体积为▲cm3．
6、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为▲
7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）若圆柱的侧面积和体积的值都是，则该圆柱的高为▲
8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则的长为▲若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为▲．（写出所有真命题的序号）
①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线．
②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．
③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线．
④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线．
三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则如图，各条棱长均为2的正三棱柱中，M为的中点，则三棱锥的体积为▲、则有▲
14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C(ABD的体积为▲
15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为中，已知，。设的中点为D，。
求证：（1）（2）。
2、（2014年江苏高考）如图，在三棱锥PABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点。已知PA⊥AC，PA=6,BC=8，DF=5.
求证：（1）直线PA∥平面DEF;
（2）平面BDE⊥平面ABC.
3、（2013年江苏高考）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.
求证：（1）平面平面；（2）.
4、（2015届南京、盐城市高三二模）如图，在四棱锥P—ABCD中，，，，.（1）求证：平面；（2）若M为线段PA的中点，且过三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值。
5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））如图，在四面体中，平面平面，90°．，，分别为棱，
，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
6、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））如图，在四棱锥中，底面是矩形，，
平面，分别为的中点
求证：（1）平面；
（2）平面
7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，，点分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．
8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，设点满足.
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角为，求的值.
9、（2015届江苏南京高三9月调研）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且＝λ．
（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；
（2）若λ＝，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．
10、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）如图，在四棱锥中，底面是矩形，．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面．
11、（苏州市2015届高三上期末）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，.
（1）求二面角A-DF-B的大小；
（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为.
12、（泰州市2015届高三上期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面．
中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．
(1)若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;
(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．
参考答案
一、填空题
1、设底面半径为，则有，解得
2、
3、
4、③④5、16、7、38、
9、②④10、11、12、13、3：214、15、
二、解答题
1、证明：（1）因为D为中点，E为中点，所以，又,
，所以。
（2）直三棱柱中为正方形，又知道
，而，所以
。由，又，所以。证毕。
2、（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点∴DE∥PA
又∵DE平面PAC，PA平面PAC
∴直线PA∥平面DEF
（2）∵E,F分别为棱AC,AB的中点，且
BC=8，由中位线知EF=4
∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5
∴DF2=EF2+DE2=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵ACEF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC
3、证明：（1）∵，∴F分别是SB的中点
∵E．F分别是SA．SB的中点∴EF∥AB
又∵EF平面ABC,AB平面ABC∴EF∥平面ABC
同理：FG∥平面ABC
又∵EFFG=F,EF．FG平面ABC∴平面平面
（2）∵平面平面
平面平面=BC
AF平面SABAF⊥SB
∴AF⊥平面SBC又∵BC平面SBC∴AF⊥BC
又∵,ABAF=A,AB．AF平面SAB∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA
4、证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1．
因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2．
因为(ADC＝90(，所以AC＝，(CAB＝45(．
在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2．
所以BC(AC．……………………3分
因为PC(平面ABCD，BC(平面ABCD，所以BC(PC．……………………5分
因为PC(平面PAC，AC(平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BC(平面PAC．……………………7分
（2）如图，因为AB∥DC，CD(平面CDMN，AB(平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN．……………………9分
因为AB(平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN＝MN，
所以AB∥MN．……………………12分
在△PAB中，因为M为线段PA的中点，
所以N为线段PB的中点，
即PN：PB的值为．……………………14分
5、证明：（1）因为，分别为棱，的中点，
所以，……2分
又平面，平面，
故平面．……6分
（2）因为，分别为棱，的中点，所以，
又°，故．……8分
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面．……11分
又平面，
平面平面．……14分
（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“平面”，扣1分．）
6、
7、证：（1）取中点，连接，
又是中点，则，
又是矩形边中点，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，又面，面，所以∥平面．…７分平面，，所以平面，
因为平面，所以，
又，，所以平面，
而平面，所以平面平面．……………14分解：（1）以为原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，.当时，得，所以，设平面的法向量，则，得，
令，则，所以平面的一个法向量，
所以，即直线与平面所成角的正弦值.………………5分
（2）易知平面的一个法向量.
设，代入，得，
解得，即，所以，
设平面的法向量，则，
消去，得，令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以，解得或，，所以.……………10分
＝λ，所以E(0，3，5λ)．
从而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)．……2分
当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，
所以·＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，
解得＜λ＜．
即实数λ的取值范围是(，)．……………………………………5分
（2）当λ＝时，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．
设平面BEA1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
由得
取x＝1，得y＝，z＝1，
所以平面BEA1的一个法向量为n1＝(1，，1)．…………………………………7分
易知，平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)．
因为cos＝＝＝，
从而|cosθ|＝．……………………………………10分
10、（1）证明:为矩形，．………………………………………………2分
又面，面……………………………………………………4分
面……………………………………………………………………7分
证明:为矩形,,……………………………………………9分CD,，平面,平面．…………………………………………………………………11分
又面,面面………………………………………14分是菱形，，∴点是的中点，
∵点为的中点∴，………………3分平面，平面，∴直线平面．………７分，点为的中点,∴,
∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面，………………9分平面∴,
∵，，∴，
∴四边形为平行四边形,∴，………………11分，，∴，∵四边形是菱形，∴，
∵，，，在平面内，
∴平面．………………1４分解：为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，知,，
，，.设，
∴，.
设异面直线与所成角为，
则，
化简得：,解得：或，
或．………………5分∵，∴，
,，,，
设平面的一个法向量为，
∴，∴，即，取，，
设平面的一个法向量为，
∴，∴，即，取，，
设平面与平面所成角为，
∴，
∴．………………１０分
16
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
N
Q
（第15题）
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
(第16题)
A
B
C
D
P
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
N
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