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三角函数的值域（最值）问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。这类问题的解决涉及到问题转换、等价化归等常用方法。下面就其类型与解法举例说明。 一、一次型：y=asin(ωx+φ)+b型函数 这是一个基本型，其本质是y=at+b，其中t=sin(ωx+φ)的一次函数问题，其解法关键是求出t=sin(ωx+φ)的范围。 例1、求函数y=2sin2x+■+2在x∈0，■上的最值。 解：∵0≤x≤■，∴■≤2x+■≤■， ∴-■≤sin2x+■≤1 ∴sin2x+■=1时，ymax=4； sin2x+■=-■时，ymin=1。 二、合一型： y=asinωx+bcosωx+c型函数 这类题目解决的思路是把问题化归为y=asin(ωx+φ)+b的形式，一般而言f(x)max=a+b，f(x)min=-a+b，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图像加以解决。 例2、在0≤x≤■条件下，求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。 解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y=■-2sin2x-3■ =2(cos2x-sin2x)-1 =2■cos2xcos■-sin2xsin■-1 =2■cos2x+■-1 ∵0≤x≤■，■≤2x+■≤■ ∴-1≤cos2x+■≤■ 综上所述， 当cos2x+■=■时，ymax=1 当cos2x+■=-1时，ymin=-2■-1 三、二次型：y=asin2x+bsinx+c 或y=acos2x+bcosx+c(a≠0)型函数 其解法是令t=sinx或t=cosx，通过换元化为关于t的二次函数y=at2+bt+c值域或最值的问题，但需要注意新元t的取值范围。 例3、求函数y=cos2x-3sinx的最大值。 解：y=cos2x-3sinx =-sin2x-3sinx+1 令t=sinx,t∈-1，1 ∴y=-t2-3t+1=-t+■2+■ ∴当t=-1时，ymax=3 四、分式型:如y=■ 或y=■(ac≠0)型函数 利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。 例4.求函数y=■的值域。 解：∵y=■ ∴(y+2)sinx=3+2y ∴sinx=■且sinx≤1 ∴■≤1 解不等式得y∈-■，-1 五、和、差、积型： y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。sinαcosα是纽带，三者之间知其一，可求其二。令t=sinx±cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。同样需要注意新元t的取值范围。 例5、已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值。 解：设t=sinθ-cosθ =■sinθ-■ 又∵0≤θ≤π ∴-■≤θ-■≤■ ∴-1≤t≤■ ∵2sinθcosθ=1-t2 ∴y=-t2+t+1=t-■2+■ 当t=■时，ymax=■； 当t=-1时，ymin=-1 处理三角函数值域问题的实质是实现新问题向旧问题转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题转化。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法、数形结合法、导数法等，这里不再赘述。（市实高徐玲玲） |
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