32上海中学数学·2008年第5期
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
200071上海市市北中学金荣生
2003年北京高考数学卷第18(m)题考查
了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般
圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得
到圆锥曲线的若干性质．
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任
作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB
于P，Q，则有lMPI=I旭I．
证明：如图1，以M
为原点，AB所在的直线
为Y轴，建立直角坐标
系．
设圆锥曲线的方程
为AxZ+Bxy+cy2+
Dx+Ev+F一0()，
设A(0，f)，B(O，一￡)，知
t，一t是Cy2+毋+F=
0的两个根，所以E=0．
‘
么仃
炙
仫Vx吵‘D廿
图1
若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与
A，B重合，结论成立．，
若CD，EF斜率都存在，设C(xl，走121)，
D(xz，klz2)，E(x3，愚2X3)，F(x4，五2X4)，P(O，趴Q(O，g)，CE．y。％等。(X--X1)+
klXl：P一堕堡塑．(O—X1)+惫1zl
望垡旦二盟，同理q一堕型堕二盟，所以323一XlX4一．r2
P+口一
(kl一是2)[z3X4(xl+z2)一z1X2(x3+z4)]
将Y=七1量代人()得(A+段1+Ql2)≯
+(D+殁1)上+F=0，又E=0得Xl+规=万干面--iD丽，z，砣。万干面品，同理船
——DF
+X45万干面云了面’翻丑2万干面i丽’
所以P+q=0，即lMPl=l№I．
注：2003年高考数学北京卷第18(HI)题，
就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长
轴的弦的特殊情形．
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线
交于点M，过M的直线z∥AB，过M任作两条
弦CD和EF，直线CE与DF交直线Z于P，Q，则
有IMPl=I心I．
证明：如图2，以M
为原点，AB所在的直线
为Y轴，建立直角坐标
系．
设圆锥曲线的方程
为Ax2+Bxy+cy2+
Dx+毋+F—O()，
设A(xl，y1)，B(xl，YZ)，
则切线MA的方程是
昙z1+要yl+F：o，切百z1十百yl十，。u''列
么虿
必
丝谤_
图2
线Ⅷ的方程是等z1+-。Cyz+F号0，得E(yl一
厶■
yz)=0，所以E=0．(下面与定理1的证明相
同，略)
特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴
时，点M在圆锥曲线的该对称轴上．
一，性质1：过点M(m，0)做椭圆、双曲线2了17-士
Ⅱ。
．．2
寺=1的弦CD，EF是其焦点轴，则直线匹、
D。
一2
DF的连线交点G在直线Z：z一生上．特别的，
HI
当M为焦点时，l就是准线．当M为准线与焦点
轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线．
证明：如图
3，过M做直线
AB垂直焦点
轴所在的直线，
直线CE与DF
交直线AB于
P，Q，则根据定
理1，定理2得I
A伊l=lMQI．
YJl
H1E劳
驴≮
0{FL雠
二一／／x
图3
过G做GH垂直焦点轴所在直线于H，得搿HE=黑HG一黼HG=胤FH，设
I’“M(m，o)，H(n，o)，焦点轴长为2a,则有兰旦
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上海中学数学·2008年第5期33
=—a--—m，得，珊一口2．口一咒
注：性质1就是文[1]中的性质1，文Ez3中
的推论2．
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其
虚拟顶点，把图3中的DF看作与焦点轴平行的
直线，于是得到性质2．
性质2：过点M(m，0)做抛物线yZ=2px
的弦CD，E是抛物线的顶点，直线DF与抛物线
的对称轴平行，则直线CE、DF的连线交点在直
线Z：z=一m上．特别的，当M为焦点时，z就是
准线．当M为准线与焦点轴的交点时，Z就是过
焦点的直线．
注：2001年全国高考数学卷第18题，就是
性质2中M为焦点的情形，性质2就是文[1]中
的性质2，文[2]的推论1．
性质3：直线
z：z一一a2，过点
M(m，O)做椭圆、
双曲线薯士警。一n。‘
V●步
歹弋E移罗
0IF觫
一≯X
一／
1的弦CD，直线z图4
与CD交于点J，则
CMI—IDM
aaI‘，
证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：
■垫U一!塑l一业堕旦一!丛!
CJl佑lJ瓜lDII‘
一，性质4：过点M(m，0)做椭圆、双曲线1了"-士
Ⅱ’
．’
百y-e1的弦CD、EF，则直线伍、DF的连线交
0。．
一2
点G在直线Z：z=生上．
证明：如图
5，过G做GH垂直
焦点轴所在的直
线，由定理1，定理2得：哥=
魁：型
IGl尬I=错，由性
D，I’…。工
V‘I
鬃够7弋D、～雒判j
图5
质3得，点J在直线￡：z一生上，所以点G在直m
线z：z一生上．m
类似性质3、性质4得到性质5、性质6．
性质5：直线z：z一一m，过点M(m，O)做抛
物线Y2—2px的弦CD，直线￡与CD交于点J，则惜=册．。
性质6：过点M(m，0)做抛物线y2=2px
的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直
线Z：z=一m上．
注：文E3]中的定理是性质4、性质6的特殊
情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交
点G落在相应准线上．
性质7：过点M(m，o)做椭圆、双曲线≮±
y--，，=1的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的
切线的交点G在直线z：z=巴上．
证明：如图6，
设切线∞交直线
Z于G1，连接G1D，
若G1D与圆锥曲
线有除D点外的
公共点F，做直线
FM交圆锥曲线于
E，由性质4知CE
涮：I弋0、一
火之／j—，，彳
图6
与DF的交点在直线z上，所以C、E、G1三点共
线，与∞1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与
圆锥曲线只有一个公共点D、G1D是圆锥曲线
的切线，G1与G重合，G在直线z上．
性质8：过点M(m，O)做抛物线y2=2px的
弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交
点G在直线Z：z=一m上．
注：性质7、性质8也是性质4、性质6的一种
极端情形，就是文[4]中的定理1．
．2
性质9：直线Z：z=生，过点M(m，O)做椭
I●‘
一2一．’
圆、双曲线与±万y-=1的弦CD、C、D在1上的
射影为Cl、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2,Dz,则别=剐．
证明：如图7，由性质3得：哥=
必一皿一DMDI
删，所以
0C1DDl
aC2DDzI。
V‘
C2一～C
f<。、、F一P妙
乡弋乡1x
／LD
图7
性质10：直线z：z=一m，过点M(m，o)做
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上海中学数学·2008年第5期
对一道课本习题的思考和再认识
223700江苏省泗阳中学高中部刘建中
人教版高中教材《不等式》章中有这样一道
习题：、已知口、b都是正数，求证：T七≤／曲≤
土a上土b下a+b≤／半，当且仅当口=b时，等号成立．
厶Y厶
此不等式链说明了关于两个正数的调和平
均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数的
大小关系，通常称之为广义二元均值定理．学生
对该定理的证明并不感到困难，但仔细思考一
下。可以发现其中蕴涵着一些很有价值的东西．
以下就该定理的几何背景作简要的探究，并对
定理的内容予以拓广和应用．
一、几何背景的探究
已知边长为口、b的矩形，分别确定满足下列
条件的正方形的边长m．
1．若正方形与已知矩形有相等的对角线，
则厢=∥再，得m一俨≯删p
抛物线y2=2px的弦CD，C、D在1上的射影为
rYl
cl、Dl，在对称轴上的射影为C2、D2，则鲁l¨Z
DDl=一
DD2I．
注：性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文
[5]中的推论也可由性质3、5直接推出．
性质11：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任
作两条弦CD和EF，直线CE与DF交于点G，过
G做GI∥AB，直线
口交FE于f，则
EMFM
EJFJl。
证明：如图8，直
线CE与DF交直线
AB于P，Q，由定理1
得：IMPl=IMQJ，所以哥=
型：删：
lIGl临I
FM
I丌I’
图8
n、b的平方平均数；
2．若正方形与已知矩形有相等的周长，则
4m=2(口十6)，得m=生；譬，此即口、b的算术平
均数；
3．若正方形与已知矩形有相等的面积，则
加2=ab，得优=√曲，此即口、b的几何平均数，
4．若正方形与矩形有相等的面积和周长之
比，则蠢‰一磊渭m—T_2T，此即口、6
i十百
的调和平均数．
二、拓广的结论
1．拓广至三维后各平均数的几何背景
已知边长为n、6、c的长方体，分别确定满足
以下条件的正方体的棱长研．
(1)若正方体与已知长方体有相等的对角
线，则√3m2一~／n2+62+c2，得优一厂■r—F—■彳—T—了
^／竺i{≥筻，此即口、b、f的平方平均数；
性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切
线交于点M，过M任作两条弦CD和EF，直线
CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线饼交
陋于J，则轾骅：辘羿．
L』IrJ
性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，
从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，
9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出．
参考文献
[1]金美琴．二次曲线的定点弦[J]．数学通报，
2003，7
[2]陈天雄．一道高考解析几何试题的引申和推广
口]．数学通报，2002，6
[3]廖应春．圆锥曲线焦点弦的一个性质[J]．数学
通报，2003，4
[4]李笛淼．圆锥曲线的两个性质[J]．数学通报，
1999。2
[5]姜坤崇．姜男．圆锥曲线的一个有趣性质极其推
论[J]．数学通报，2003，7
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