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2015年第9期I上匈)
编者按“2015年高考数学填空题创新解法集萃”征文本期刊登完毕。参加本期文稿审理和选编
的老师有：朱德意(安徽)、熊如佐(江苏)、任念兵(上海)、殷木森(广东)、梅磊(湖北)、杨飞(河北)、阮飞
(安徽)、敖德兵(四川)、徐茂炳(江苏)、郑良(安徽)、何豪明(浙江)、应水平(浙江)、曾松林(浙江)、张建
新(山东)、叶琪飞(浙江)、高浩(山东)、靳小平(陕西)、黄锋(江苏)。本刊对上述老师的辛勤工作及读
者的积极供稿表示衷心感谢1
2015年高考数学填空题
创新解法集萃
课标Ⅱ卷
理科第14题：若z、满足约束条件
fz—+1≥0，
x--2y≤o，则z=x-Fy的最大值为。
【+2一2％0，
解法1：调配目标函数z—xq-y一亡(x--2)+
3(z+2Y)≤÷×0+3xz一3。
当x--2y=0，+2y一2，即=1，Y一寺时取等
号，即2：rna=昔。
(广西桂林市第四中学孔祥胜；陕西省靖边中
学赵世念)
解法2：在约束条件中，由z+2一2≤0得3z+
6一6≤o，再与一2≤0两边分别相加，得+≤
3
，即z≤号，当且仅当z--1，=1时等号成立。故
z—xq-y的最大值为昔。
(孔祥胜；陕西省武功县教育局教研室李歆)
解法3：目标函数z一+一一+z代入已
知有
f2z—z≥一1，①
3x--2z<~O，②
l—z+2z≤2，③
由①②③消去可得z≤号，当一1，：专时取
等号，即z一．昙-。
(孔祥胜)
理科第15题：(口+z)(1+z)的展开式中z的
奇数次幂项的系数之和为32，则n一。
解法1：(1+)展开式中X的奇数次幂项的系
数和与z的偶数次幂项的系数之和相等均为2-1—
8，所以(口+z)(1+)的展开式中z的奇数次幂项
的系数之和为8口4-8—32，得a一3。
(孔祥胜)
解法2：令厂(z)一(n+z)(1+z)一a。+n1+
a2z+a3。+a4x+a5z，
则厂(1)=口o+al+n2+口3+口4+a5，
厂(一1)----a0--a1+口z--a3+n4--a5，
所以，_二：32
，即(口+1)．2—o一
64，故a一3。
(孔祥胜；黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校张
永贵修延彬陈敏刘建伟；浙江省衢州市第一中
学曾松林；安徽省桐城市第九中学朱益)
理科第16题：设S是数列{n)的前n项和，且
a1一一1，a+1=SS+1，则S一。
解法1：n一1时，由口z=S1S2可得口2一妄，S2===
1
一
--
--2时，由n。：szS。可得a3一丢，S。一一13。
猜想S一一。
中学数学教学参考wWw．zhongshucan．coill
证明：当一1时，S1一一1成立，
假设当一忌时，s：==一去成立，
则当n一走+1时，n+1一SS+1一S(S女+口+1)，
即n+一(一1)(一1+a+)，解得n+一
il_，所以s+一s+n+一一去+l''一
一
，所以当=4-1时也成立。
_rH1
综上，S一一对于EN都成立。
(孔祥胜；重庆市朝阳中学刘杰；甘肃省陇西县
第一中学何聪)
解法2：由nl一一1，n+l—sS+1得n2一，n3一
百1，a一1
。猜想。一，，z≥2(证明略)，则
s===～1+1一1十1
一
1
十
1
一
1+
…+
一一一
"。
(孔祥胜)
理科第1
解：如图1，在平行四边形
ABCD中，联结AC。
设BAC=0，则BCA一105。
一0，CAD一75。一0，ACD一0
--30~
~
B
图1
f0>0。，
由题意侍．_1[
7
10
5。
5
一
~
--
>
0>
。。
0
，
~
’
因此3。。<<75。。
l一30。>0。，
在三角形ABC中，0越小AB越大，0越大AB越
，J、。
当趋向于30~时，—
SInu
一—
sin
鱼
，解上0
——UJJU
得AB一√6+√2；
当趋向于75~时，
lrl
一
s1，解SJU0一，n，
得AB一√6一√2。
所以AB的取值范围是(一，+)。
(何豪明；河北省唐山市开滦第二中学王庆武；
江苏省常熟市中学蔡祖才；安徽省安庆市第一中学
为偶函数，则n一。
解法1：由已知，(z)是偶函数，则厂(z)一，(一)
一0，即xln(x+~／0+z)+xln(~／。+z。一)一0，整
理得xlnn一0，由z任意性，得a一1。
(福建省南安市国光第二中学黄清波；湖北省
洪湖市园林中学王鹃；云南省大理州漾濞县第一中
学秦庆雄范花妹；湖南省浏阳市第六中学潘日明；
浙江省衢州高级中学何豪明)
解法2：令g(z)一ln(x+~／n+z。)，由已知条件
得到g(z)为奇函数，因为函数-厂(z)定义域为R，所以
g(0)一0，求得口一1。
(潘日明；黑龙江省七台河市高级中学何昌俊；
韩国延世大学经营系何卓；湖南省江华县第二中学
蒋成君；广东省深圳市南头中学袁作生)
理科第16题：在平面四边形ABCD中，A一
B一C一75。，BC=2，则AB的取值范围是。
、N满足一
2，商一。若莉一z+a--d，则z===
''Y==：o
解法1：如图1，丽一一
一专(+)一詈=丢一告
。故一号，一一。图1
(福建省南安市国光第二中学黄清波；山东省
宁阳县第一中学刘才华；陕西省靖边中学赵世
念；安徽省合肥市第六中学周天明)
解法2：由题意知，+商一丽一z+y
一z(+商)+v一(z+v)+蔼一3(z
+v)疏+2菌。
即]f3x-
一
l-3
1
y一’解之得，z—1，一一百12。x即、解之得，z一，一一了。1
—1，b
(赵世念；广东省罗定中学城东学校唐美拉)
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