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loga1?0，logaa?1，logex?lnx，，，a0?1，lg2?lg5?1，m aab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，alogaN?N，logab?logcb， a?，a m?mlogca 1n log34?log59的值为________(答：8)；（2）()logab。如（1）log225? 2m 1 的值为________(答：) 64logambn? 15. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 16. 函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立 b y?ax?型。 x 17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是： （1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ： ①正比例函数型：f(x)?kx(k?0) ---------------f(x?y)?f(x)?f(y)； f(x) ； f(y) f(x)x ③指数函数型：f(x)?a ------------f(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?； f(y) x ④对数函数型：f(x)?logax -----f(xy)?f(x)?f(y)，f()?f(x)?f(y)； y f(x)?f(y) ⑤三角函数型：f(x)?tanx ----- f(x?y)?。如已知f(x)是定义在 1?f(x)f(y) T R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则f(?)?____（答：0） 2 ②幂函数型：f(x)?x --------------f(xy)?f(x)f(y)，f()? 2 xy （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数f(x)(x?N)表示x除以3的余数，则对任意的x,y?N，都有 A、f(x?3)?f(x) B、f(x?y)?f(x)?f(y) C、f(3x)?3f(x) D、f(xy)?f(x)f(y)（答：A）；（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x?2)?f(x?1)?f(x)，如果 3 ，f(2)?lg15，求f(2001)（答：1）；（3）如设f(x)是定义在R上的奇函2 数，且f(x?2)??f(x)，证明：直线x?1是函数f(x)图象的一条对称轴；（4）已知定义域为R的函数f(x)满足f(?x)??f(x?4)，且当x?2时，f(x)单调递增。如果x1?x2?4，且(x1?2)(x2?2)?0，则f(x1)?f(x2)的值的符号是____（答：负数） （3）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x) 则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x?R，f(x)满足f(xy)?f(x) ?f(y)，f(1)?lg ；（3）已?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数） 知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，当0?x?3时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x)?cosx?0的解集是_____________（答：(? ；（4）设f(x),?1)?(0,1)?(,3)） 22 的定义域为R?，对任意x,y?R，都有 x1f(?)f(?x)f，且(yx)?1时，f(x)?0，又f(?1，y2 ①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)?f(5?x)??2.（答：?0,1???4,5?）． 高考数学必胜秘诀在哪？ ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 三、数 列 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝） n (n?N*)，2 n?156 1an 则在数列{an}的最大项为__（答：）；（2）数列{an}的通项为an?，其中a,b均 25bn?1 an?an?1）为正数，则an与an?1的大小关系为___（答：；（3）已知数列{an}中，an?n2??n， 且{an}是递增数列，求实数?的取值范围（答：???3）；（4）一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)得到的数列{an}满足 的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知an? an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是 （）（答：A） A B C D 2.等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。如设{an}是等差数列，求证：以bn= a1?a2???an n?N*为通项公式的数列{bn}为等 n 差数列。 （2）等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。如(1)等差数列{an}中， a10?30，a20?50，则通项an?2n?10）；（2）首项为-24的等差数列， 8 d?3） 3 n(a1?an)n(n?1) （3）等差数列的前n和：Sn?，Sn?na1?d。如（1）数列 {an} 22 1315* 中，an?an?1?(n?2,n?N)，an?，前n项和Sn??，则a1＝＿，n＝＿（答： 222 从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答： a1??3，n?10）；（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n 2* 12n?n(n?6,n?N) 项和Tn（答：Tn??2）. * n?12n?72(n?6,n?N) a?b 。 2 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及 （4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A? Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， 即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；偶数个数成等差，可设为?， a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差为2d） 3.等差数列的性质： （1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn?na1? n(n?1)dd d?n2?(a1?)n是关于n的二次222 函数且常数项为0. （2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有 am?an?2ap.如（1）等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____ （答：27）；（2）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则A、S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0， S21,S22?都大于0 （答：B） (4) 若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、 a{ap?nq}(p,q?N*)、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列，而{an}成等比数列；若{an} 是等比数列，且an?0，则{lgan}是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225） （5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时， SS奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）；S奇: 偶 k()1:?k 。如（1）在等 差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. （6）若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且 An f(n)，则n an(2n?1)anA2n?1 f(2n?1).如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分nn2n?1 aS6n?23n?1 别为Sn和Tn，若n?，那么n?___________（答：） bnTn4n?38n?7 (7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增 等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 an?0??an?0?确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于?或??????an?1?0??an?1?0? n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N*。上述两种 方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0， a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是4006） (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm. 4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：定义法 an?1aa ，其中q?0,an?0或n?1?n ?q(q为常数） ananan?1 (n?2)。如（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120， 则an?1为____）；（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。 （2）等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。如设等比数列{an}中，a1?an?66， 5 6 1 或2） 2 a1(1?qn) （3）等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn? 1?q 10n a1?anqk 。如（1）等比数列中，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）（；2）(?Cn)?q＝2，?1?qn?1k?0a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和公比q. （答：n?6，q? 的值为__________（答：2046）； 特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。 （4）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任 何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B） 提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及 Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， 即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为?， aaaa32 ,,aq,aq?（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为?，?，,,a,aq,aqq23 qqqq 因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比数列的性质： （1）当m?n?p?q时，则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有 2 am?an?ap2.如（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则 a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则 10）。 logga2???lo3ag103a1?lo3 (2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N)、{kan}成等比数列；若 *
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