48福建中学数学2015年第9期
断：因为0
j叶
d
tanA<一1．因此tanA=一．
j
在求解三角函数问题时，一定要注意角的范围
对解题结果产生的影响．实际上，学生有自己的“思
想”，未必会按照教师传授的解题方法求解，当然，“思
想”离不开课堂或课外所获取的，但是会受到各种解
法的干扰，甚至误导．笔者认为，教师教学时按学
生“最近发展区”不断调整、完善教学方案，平时多了
解学生的解题思想；学生也多与教师交流、探讨，
学习是一个不断优化的过程，只有把教师所教的“渔”
化为己有，且不受干扰，才能获得自己的“鱼”，真正
提升自己的学习能力，为后续学习和长远发展提供
潜质．
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题
邱有文福建省龙岩市长汀二中(366300)
新课程中极坐标方程的引入，不仅让我们感受
数学的艺术性，欣赏了那些奇妙的曲线及其方程，
而且还会强化我们解决问题的能力．若极坐标方程
恰当地引入到圆锥曲线问题中，解答过程往往能化
繁为筒，下面就谈谈极坐标方程在圆锥曲线中的妙
用．
先介绍圆锥曲线的极坐标方程：
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可统一定
义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线
(准线三)的距离之比等于常数e的轨迹．建立以焦
点F为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系，其统一
极坐标方程为P=·-(称为标准极坐标方
l—ecoS
，T
2
程)．其中在椭圆、双曲线中P=I一c1．
C
(1)当0
它的左焦点，定直线是它的左准线；
(2)当e=1时，方程表示开口向右的抛物线；
(3)当e>1时，方程表示双曲线的右支，定点
F是它的右焦点．定直线三是它的右准线(若P<0，
方程表示整个双曲线)．
根据不同的坐标系，有下列推论：
推论1P=_，
l+eCOS
(1)当0
椭圆；
(2)当e=1时，方程表示开口向左的抛物线；
(3)当e>1时，方程表示极点在左焦点的双曲
线．
推论2ep，
(1)当0
椭圆；
(2)当e=1时，方程表示开口向上的抛物线；
(3)当e>1时，方程表示极点在上焦点的双曲
线．
推论3P=_，
I十es1rl
(1)当0
椭圆；
(2)当e=1时，方程表示开口向下的抛物线；
(3)当e>1时，方程表示极点在下焦点的双曲
线．
下面就举例分析圆锥曲线中哪几种题型用极坐
标方程解答能化繁为简．
题型一型如FA=AFB(其中A，B在椭圆上，F
为焦点)的圆锥曲线问题
例1设，分别为椭圆X／3+Y=1的左、右
焦点，点A，B在椭圆上，若=5B，则点的
坐标是——．
解析设椭圆的极坐标方程为：p=ep／(1-eCOS，
因为=5，所以ep／(1一ecos0)=5ep／(1+ecos，
解得COS0=46／3，所以tan0=,／2／2．于是所在
的直线方程为Y=(√2／2)(一√2)，代入x／3+y=l，
解得A(0，±1)．
例2已知以F为焦点的抛物线Y=4x上的两
点，满足F=3FB，则弦AB的中点到准线的距
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离为．
解析设抛物线的极坐标方程为：p=p／(1+cos~，
因为『=p／(1一cosO)，=p／(1+cosO)，：3历．
所以P／(1一cos0)=3p／(1+cos0)．于是有COS0=1／2，
所以Jf=2／(1一cosO)=4，Il=2／(1+cosO)=4／3，
(IFl+l船I)×(1／2)=8／3，即填8／3．
题型二涉及到焦点弦长问题
例3如图1，设P是圆+Y=25上的动点，
点D是P在轴上的射影，为PD上一点，且
『MDI=(4／5)lPDI．
(I)当P在圆上运动时，求点的轨迹C的
方程；
(II)求过点(3，0)且斜率为h(x)>h(1)=0的直
线被C所截线段的长度．
解(I)／25+Y／16=1；
(Ⅱ)设椭圆的极坐标方程为P=ep／(1+ecosO)，
P=a。／C—C=16／3，e=3／5，tanO=4／5，所以COS0=
5／√．
所以lAB{=ep／(1+ecos+ep／(1一ecos=2ep／(1一
ecos=2×(3／5)×(16／3)／[1-(9／25)x(25／41)]=41／5．
题型三能转化为焦半径问题
例4已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与
点P到Y轴的距离的差等于1．
(I)求动点P的轨迹C的方程；
(1I)过左焦点F的两条斜率存在且互相垂直
的直线‘，f2，设‘与轨迹C相交于点，，，2与轨
迹C相交于点J[)，E，求AD·EB的最小值．
解析(I)Y=4x；
(1I)AD·EB=(AF+FD)·(EF+FB)=AF·FB+
一FD-=I1．1而c+l历1．I1．
设轨迹C的极坐标方程为P=2／(1一COS)，则
ll=2／(1--COS)，ll·l丽I=4／(1--COS2)，I历l_
JJ=4／(1_sin2)．
于是AD·EB=[4／(1一COS][4／(1一sin]=16／
sin2al6，当2a=兀／2，即=兀／4时，AD·EB有
最小值16．
评述该题通过向量的运算转化为两焦半径的
乘积，再用极坐标来解，整个解答过程简洁．
极坐标方程在高考中虽是独立命题，有时候没
有必要把它与圆锥曲线分开，当圆锥曲线问题中涉
及到焦半径或焦点弦长时，若设曲线方程为极坐标
方程往往能避开繁杂的计算，起到化繁为简的目的．
巩固练习
习题1已知过椭圆X／a+／b=l(a>b>0)的
右焦点F且斜率是1的直线交椭圆于A，B两点，若
AF=2FB，则椭圆的离心率是——．(答案：√2／3．)
习题2已知椭圆X／a+／b=l(a>6>0)的离
心率为√3／2，过右焦点，且斜率为k(k>0)的直线
与椭圆相交于A，B两点．若AF=3FB，则k=()
A．1B．,／5C．,fiD．2
(答案：B．)
习题3如图2，F为抛物线Y=2px的焦点，
A(4，2)为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，
且JPAl+fPFl的最小值为8．
(1)求该抛物线方程；
(2)如果过F的直线，交抛物线于，Ⅳ两点，
且lMNl32，求直线，的倾斜角的取值范围．
答案(1)Y=16x；(2)(0，兀／4】U[3~／4，兀)．
习题4如图3，已知椭圆X／a+／b=l(a>6>0)
的离心率为√2／2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右
焦点，为顶点的三角形的周长为4(42+1)．一等
轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线
上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点
分别为，和C，D．
(I)求椭圆和双曲线的标准方程；
(11)设直线，尸的斜率分别为kl，k，
证明k1．k2=1；
(1lI)是否存在常数，使得lABl+lCDl=『ABI·
ICDl恒成立?若存在，求的值；若不存在，请说明
理由．
答案()等+等=，等一等=；
(Ⅱ)略；
(Ⅲ．
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