中考数学函数必考性质总结：二次函数（下）

二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

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二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴：

解析式 顶点坐标 对称轴

y=ax^2(0，0) x=0

y=a(x-h)^2(h，0) x=h

y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h

y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<>，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h>0,k<>，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<><>，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便。

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抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：

当a>0时，开口向上，

当a<>，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

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抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，

若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；

当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。

若a<>，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；

当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。

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抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=(a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x-x|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<>

当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；

当a<><0>

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抛物线y=ax^2+bx+c的最值：

如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值="">

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

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用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a(x-h)^2+k(a≠0)

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

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二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

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