导数中的分类讨论，这样分，不会错！

 

小数老师说

导数里的分类讨论是同学们最头疼的点，其实在小数老师看来，导数题目不难，关键是要找准分类讨论的标准，然后计算能力过关就OK了，这个假期小数老师会通过几道例题分别给大家讲解一下这个知识点，希望能让绝大多数同学都能拿到满分！

分析

这道题显然是一道典型的利用导数求函数极值的题目，函数也是比较中规中矩的三次函数，因此，只要是基础知识扎实，这道题的难度不大！但是对于分类讨论部分，很多同学分类不清晰，再加上导数里面有参数a还有自变量x，同学们很容易会出现错误，下面，跟着小数老师一起看看，怎么分类才能拿满分？！

一般小数老师会根据求导后需要讨论的那部分解析式进行分类，比如，一次函数型，二次函数能分解因式型，二次函数不能分解因式型，能转化为一次或二次函数型，等，其中前三类是基础类型，同学们务必要掌握好，今天这道题属于二次函数能分解因式型。

解析

（1）       对于求极值或者求单调性的题目，第一步是求导并求函数定义域（是原函数的定义域，而不是导函数的定义域哦）

所以

接下来，观察导函数，会发现导函数可以是一个二次函数型的（一定不能直接说是二次函数，因为a的范围不确定），再回到条件里，可以看到a>0，所以就是属于二次函数，还是能分解因式的，所以继续往下，

我们知道，求函数的极值，一般是令导函数为0，求出根，然后判断函数在区间上的单调性，得到极值，

所以，令，即ax(ax-2)=0,所以，

由于a>0，所以x2>x1，所以可以得到

x	（-∞，0）	0	（0,2/a）	2/a	（2/a，+∞）
f‘（x）	+	0	—	0	+
f(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

注意：第一问由于限制了条件a>0，所以不需要讨论，只要比较一下两根的关系即可，难度不是很大！

（2）       第二问与第一问的区别在于两点：一是a的范围放大了，二是函数的定义域变小了，这样一来难度就有点增大了，我们从上面求出的导函数开始，

由于a的范围扩大了，对于这个导函数，形式上是二次函数，但其实不一定，因为二次项系数是a^2，所以第一步要先考虑a=0时，此时f’（x）=0，所以此时f(x)是常函数，不存在极值；

当a不等于0时，导函数为二次函数型的，

由（1）得，两根为

，

接下来由于a的范围不定，再加上定义域是[-1,1]，必须要分类讨论了，那么应该怎么分类呢？

小数老师送你一个法宝，数轴，请看图：

这个图上三个点分别是定义域的两个端点，以及根x1，对于根x2，此时无法确定位置，但是我们要分类讨论了，通过数轴我们可以看到x2可以有以下几种情况了，

x2≤-1,

-1<><>

0<><>

X2≥1

共四种情况，接下来，我们就这四种情况进行讨论，

①   当x2≤-1，即-2≤a<>导函数的大体图像为

通过图像列表可得

x	[-1,0）	0	(0,1]
f’(x)	-	0	+
f(x)	递减	极小值	递增

②   当-1<><>，即a<>导函数的大体图像为

通过图像列表为

x	[-1,2/a）	2/a	（2/a，0）	0	(0,1]
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

③   当0<><>，即a>2时，导函数的大体图像为：

通过图像列表为

x	[-1,0）	0	（0，2/a，）	2/a	(2/a,1]
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

④   当X2≥1，即0<>≤2时，导函数的大体图像为：

通过图像列表为

x	[-1,0）	0	(0,1]
f’(x)	+	0	-
f(x)	递增	极大值	递减

最后注意：刚才小数老师画的数轴与导函数的简图，不要出现在答题纸上，那仅仅是帮助你解题的一个工具而已哦，答题格式可以是列表，可以是描述，但是最后都不要忘了综上所述，把所有的情况都说明白，今天小数老师的目标是让大家会分类讨论，所以这题没有写标准答案，同学们自己要注意哈！