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来源 | 《数学教育学报》第19卷、第4期 作者 | 胡典顺，副教授，硕士生导师，博士，主要从事数学课程和教学论研究
关键词：数学意义；立场；启示 人为什么要学数学？其实很多人并不清楚，甚至存在许多认识误区。有学生认为，“数学除了买东西的时候有点用，考试的时候有点用，没有多大的实际用途。”还有学生认为，“学数学一切为了高考，没有高考就没有人会学这些没有用的东西。”其实，数学是一个意义的领域。 1、数学意义——科学的立场 1.1 时代的特征 数学一直是形成人类文化的主要力量，通过数学这面镜子可以了解一个时代的特征。例如，由于古希腊数学家强调严密的推理，他们关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，激发人们对理想和美的追求。所以，古希腊创造了后世很难超越的优美文学，理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻。中国古代数学崇尚实用，最大的缺点是缺少严格求证的思想。这也就不难理解为什么古代中国缺乏理性思维了，不难解释“李约瑟难题”：近代自然科学为何不发生在中国？其实，问题的症结在数学。因为，“数学和各种科学假说的数学化已经成为近代科学的脊梁骨”[1]。一个时代的特征与这个时代的数学活动密切相关。17世纪以来，由于微积分的创立，借助微积分工具在寻求自然规律方面所取得的成功远远超出了天文学的领域。19 世纪，由于把微积分这个工具改进为严格的分析体系，使数学物理强有力的理论成为可能，这些理论最终导致了量子力学、相对论的诞生，使人们对物质和空间的基本性质有更深的了解。20 世纪 50 年代，数学的发展创造了计算机，数学从科学的幕后走向台前，数字化深入到了人类几乎所有的活动，人类历史进入了一个崭新的信息时代。 1.2 美妙的乐章 数学是一座险峻的高山，其险峻背后隐藏着美丽的风景。数学能像音乐一样，给人以巨大的心灵震撼。罗素在自传中这样写道：“我 11 岁时，我开始学习欧几里得几何学，哥哥做我的老师，这是我生活中的一件大事，就像初恋一样令人陶醉。我从来没有想象到世界上还有如此美妙的东西。”[2]众所周知，高斯把数学置于科学之巅，希尔伯特则把数学看作“一幢出奇的美丽又和谐的大厦”。在人们的印象中，数学与艺术很少有共同之处，虽然它们都是人类智慧的结晶。然而，数学始终默默地伴随着艺术，为它提供丰富的灵感之源和坚实的创作支柱。我们可以毫不费力地发现，数学能产生艺术的灵感，艺术也能使数学产生灵感。从斐波那契数列和圆周率的小数位数字，到四面体和麦比乌斯带，都可以作为艺术家创作的灵感。音乐是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受。法国数学家傅立叶甚至证明了：所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的声音，复杂的还是简单的声音，都可以用数学方式进行全面的描述。傅立叶的证明具有深刻的哲学意义。美妙的音乐以令人意想不到的美妙方式得到了数学描述，从而，艺术中最抽象的领域能转换成最抽象的科学；而最富有理性的学问，也有合乎理性的音乐与其密切相联。所以，数学是推理中的音乐，而音乐则是感觉中的数学。数学和建筑间的紧密联系应该没有什么可惊奇的。数学一直是建筑师们取之不尽用之不竭的创造源泉，是建筑设计与创新的宝贵工具。 1.3 从皇后到伙伴 数学以其卓越的智力成就被人们尊称为“科学的皇后”。数学造就了柏拉图哲学，亚里士多德在他的《后分析篇》中提倡将全部科学论述化归成三段论。笛卡尔认为，数学可为一切知识的形式。笛卡尔思想的进展并不是从“我思故我在”原理开始的，而是从普通的数学概念和理想开始的。他的理想导致了一个数学分支——解析几何的建立。伽利略主张，在数学的领域中人可以达到一切可能知识的顶点，这种知识并不低于神圣理智的知识。法国思想家孔多塞认为，代数是迄今存在的唯一真正精确的和分析的语言，其中蕴含着一些普遍适用的原理，可应用于所有的概念的组合。康德在《纯粹理性批判》中试图证明确立数学和数学性的自然科学的基础。他说，任何一门自然科学，只有当它能应用数学工具进行研究时，才能算是一门发展渐趋完善的真实科学。其实，数学不仅是“科学的皇后”，还是“科学的仆人”，这是由于数学作为一种工具被广泛地应用于其他科学，服务于其它科学的功能。几乎所有重大科学理论在发展和完善过程中，数学起到不可或缺的作用，数学研究的成果往往是重大科学发明的催生素。不仅自然科学，各门社会科学也同样地不断求助于数学。随着数学与其它科学之间关系的更深入的揭示，数学又获得了一种新的称谓——伙伴。美国数学家斯蒂恩对数学与其它学科作了这样的比喻：许多有学问的人，特别是科学家和工程师，把数学想象成一棵知识之树，公式、定理和结论就像挂在树上的成熟的果实，让路过的科学家采摘，用以丰富他们的理论。数学家则与之相反，他们视数学如迅速生长的热带雨林，需要从数学之外的世界吸取养分，同时它又奉献给人类文明丰富的、变化无穷的智慧动植物。数学对其它学科做出了许多贡献，同时，这些学科正用一些有趣的新型问题向数学家发出了挑战，这些问题又导致了新的应用，且越基本的数学其用处更广。可以想象，随着人类社会的发展，数学会成为最基本的学科，会成为所有科学的框架。如果采用后现代谚语来说，就是几乎没有什么东西能够避开数学的“文本”。可以说，如果我们的世界里数学突然被抽走，人类社会将顷刻崩溃；如果我们的世界里数学被冻结，人类文明将即刻倒退。没有数学的文明是不可以想象的。 2、数学意义——教育的立场 2.1 数学——人的基本素质 数学作为人的基本素质，在古希腊社会尤其明显。希腊哲人以知识为善，追求真善美乃是希腊教育的宗旨。柏拉图认为数学是具备公民资格的前提。他认为，忘却正方形的对角线与其边之比是不可公度的这个事实，那他就不配有人的名字。柏拉图把受过教育的人与没有受过教育的人的本质比作“洞穴假象”。人想要认识宇宙，他的灵魂就必须先受到磨炼和拯救，数学就是理想的手段，特别是几何学，它是由洞穴中的黑暗到达普照的光明之桥梁。人的灵魂受到数学的陶冶之后，就有可能超凡脱俗，回到圣洁至上的理念世界而得到拯救。接受训练而能以逻辑和数学进行推理的人，将更有可能逃出无知的洞穴。数学不仅是人的基本素质，数学还能提升智能，增进才能。柏拉图认为，那些天性擅长算术的人，往往也敏于学习其它一切学科；而那些反应迟缓的人，如果受了算术的训练，他们的反应也总会有所改善。对于军人来说，计算和数数是一个军人的必不可少的本领。对于哲学家呢？柏拉图认为，哲学家必须脱离可变世界，把握真理，因而他们应该学会它，否则他们永远不会成为真正的计算者。柏拉图特别强调，几何学中高深的东西能够帮助人们较为容易地把握善的理念。理念世界是一切真知的本原，是最高的善。对于柏拉图来说，数学不仅是人的基本素质，而且国王——哲学王更应该具有超出常人的数学素质。社会的发展要求人们具有更高的数学素质。不知道基本的数学语言，不理解基本的数学符号，不掌握基本的数学推理，不懂得基本统计图表，这样的人将不能适应现代社会的快速发展。在信息社会，数学作为现代人的基本素质，已经越来越被人们所认识。数学以它的思维性、理性精神和优美性成为当今社会文化中的一个基础组成部分。一个人如果不知道数学为何物，理性思维贫乏而又缺乏审美意识，那么他的整体素质、洞察能力、判断能力以及创造能力必将受到很大的影响。数学对于一个现代人来说已不是一种时髦，而是工作、学习和人际交往中的一种实在需要。对于国家的安宁与福利来说，数学在劳动力培养中的作用是至关重要的。科学家和工程师要依靠数学，而且为了获得成就需要有坚实的数学基础。对于想要取得现代公民资格的一般公民来说，至少具有中学水平的数学基础是绝对必要的。数盲和文盲一样是极其有害的。可以说，没有数学，我们几乎不能很好地生活；没有数学，我们几乎不能很好地工作；没有数学，我们几乎不能很好地思考；没有数学，我们几乎不能很好地交流；没有数学，我们几乎不能很好地欣赏。 2.2 数学——促进人的发展 通过合适的知识载体能不断地、自觉地提高人的素质，培养人的优良品质，数学正是这样一种重要的载体。因为，当我们面对一串串数学符号进行计算和推理时，表面上，我们是在操作符号，实际上，是计算和推理在引导着我们的精神。所以，对数学知识的掌握就意味着领悟一种现代科学的语言和工具，学到一种理性的思维模式，培育一种审美情操。数学是一个蕴藏智慧的宝库，是培育人的优秀品格的园地。通过数学的学习，“能够促进学生的学习态度、思维习惯、思维模式、思维策略等的发展，让每个学生面对全新的情景都能做出适当的回应”[3]。传统实证主义知识观将知识描述成线性积累和价值中立，忽略知识创造中人的活动，忽视知识所蕴涵的伦理意义。然而，知识本质上是一种社会建构，它必然体现人的价值选择，表现人的伦理关怀。数学也不例外，对于数学来说，它可以促进人的下列优秀品质的形成。 第一，诚实正直，崇尚真理。计算、证明并不是一个简单的操作步骤或形式化过程，而是一系列的观点与洞察。数学结论对任何人都一样，必须接受理性法庭的裁决，对就是对，错就是错。数学计算、数学演绎、数学证明都不能靠投机取巧，而只能靠一步一步的计算与推理。通过数学的学习，可以培养诚实正直、以理服人、坚持真理、有错就改的优良品格。 第二，勤于思考，勇于创新。要启发人类这种独有的、高贵的创新能力，莫过于数学。没有哪一门学科能像数学这样集中、加速和强化人们的注意力。事实证明，数学家的成功并不在于他们的天赋有多高，而主要取决于他们的勤奋和创新。 第三，坚韧不拔，敢于攀登。几何中没有王者之路，数学研究需要有坚强的毅力。因为数学命题的证明犹如登山，只有那些坚忍不拔、勇于探索的人，才能达到胜利的彼岸。数学是一所优秀的思维学校，数学是一门睿智的训练学科，数学是一种抽象的思维模式。精确的数学语言让我们有条不紊地思考复杂的决策，而不是只凭轶事、猜测和雄辩。数学自诞生起就与思维结下了不解之缘，数学要通过思维来反映，数学又是思维的工具。学习数学的人更能有效地进行思维，发展人的思维能力是数学重要的文化功能，没有数学就不会有有组织的逻辑思维。许多著名的哲学家都经过严格的数学训练，古希腊的苏格拉底、柏拉图、亚里士多德，近代的笛卡尔、斯宾诺莎、莱布尼茨、洛克、休谟、贝克莱、康德，当代的罗素、维特根斯坦、胡塞尔等。数学是一种思维方法。数学能使人们的思维方式严格化，养成有步骤地进行推理的习惯。数学思维可以帮助我们由日常思维过渡到形式思维。数学对我们思维的贡献在于其概念的极大适应性，这种适应性是其它非数学模式很难达到的。恩斯特· 卡西尔把人定义为符号的动物，认为“符号化的思维和符号化的行为是人类生活中最富于代表性的特征”[4]。数学的一个重要特征就是它的符号语言，数学用符号表示数量关系和空间形式。凭借数学语言的严密性和简洁性，人们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪，这种简洁性有助于提高思维的效率。 美是善的象征，美必然地与人类的心灵相联系。数学美在于数学的雅致，雅致是不同部分的和谐、对称和巧妙的协调。美是数学的第一试金石，世界上不存在畸形丑陋的数学。哪里有数学，哪里就有美，数学中处处存在美，不仅有数学知识的美，数学方法的美，还有数学家的心灵美。艺术能够美化人们的心灵，但却没有哪一种艺术能比数学更有成效地去美化和修饰人们的心灵。数学具有审美的价值，就像音乐和诗歌的价值那样清晰明确。对于数学美对人的熏陶，许多数学家进行了论述。罗素有一段名言：数学，如果正确地看待它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。庞加莱指出，无私利地为真理本身的美而追求真理也是合情合理的，并且能使人变得更加完善。哈代曾说过，数学可以像诗歌或音乐一样，增进和保持心灵的高尚的习性，并因此而增加数学家甚至是其他人的快乐。所以，要找到一个受过教育，但对数学之美的魅力感觉相当迟钝的人，是非常困难的。 数学是打开机会大门的钥匙。数学不仅是科学的语言，而且以直接的方式为商业、财政、经济、国防做出贡献，为学生打开职业的大门。一个人懂得的数学越多，就会有更多的职业之门向他开放。今天，那些理解数学并且能做数学的人，将比那些不懂数学的人获得更多的机会。从保险公司统计员、系统分析家、营销专家、网络管理人，到金融分析家，等等。实际上，数学历来都在帮助教育当局甄别哪些学生应该得到社会的报酬这一点上起到重要的作用。在某种程度上，数学水平和能力的不同决定了一个人将来从事的职业和发展前景。在未来世界中，求职和晋升的最好机会将提供给那些有信心应付数学的人，作为科学和技术的基础，数学提供通向成功的钥匙。信息时代就是数学的时代，正如未来的科学家和工程师需要广泛的数学一样，未来的公民将需要极其多样的数学，以对付工作中大量以数学为基础的工具、设备和技术。当学生离开学校并进入工作生涯时，数学极大地决定了一个人能从事什么样的工作与不能从事什么样的工作。 在世界上所有的国家中，中小学的数学课程内容较为一致，具有突出的相似性。具体地说，各国选取的数学课程内容与社会的需求、数学的发展以及学生的发展密切相关。数学在课程中占据中心位置，在不同的国家或文化中，没有任何一门其它学科的教育时间有数学这样长。我们很少看到数学学得好而其它学科学得不好的学生。在中学里很少有这样的情况，即某个学生在数学上是第一名，而在其它学科上却属于最差的行列。反之，那些所谓“差生”，往往首先就是数学没有学好，数学对于这些学生而言竟然成了“筛子”。筛掉了他们的就业机会，筛掉了他们的发展机会。数学真正成了打开通向未来的大门，每个人的发展都依赖于数学教育的成功。在所有文明中，一代又一代的儿童学习数学以获得更加美好的生活。 人的生存是一个永无止境的完善过程和学习过程，任何人都是一个未完成的人。数学对于一个人的终身发展是非常有益的。事实上，数学作为培养公民素质的基础课程，不仅为学生进一步学习提供了必要的准备，而且在学生终身发展过程中有不可替代的作用。通过数学的学习，可以构建学生的可持续发展，进而促进学生的终身发展。因为纵然学生把数学知识忘记了，但数学的精神、思想和方法却会深深地铭刻在头脑中，长久地活跃于日常生活中，随时随地地发生作用，使学生终身受益。试想，哪一个数学家不是从数学中终身受益。陈省身就曾说过：“数学陶冶我一生。”《数学课程标准》明确提出：数学课程设置的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。在现代社会中，数学教育是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。数学教育意味着一生，我们都是“终身的学生”。 3、对数学教育的启示 在数学课程改革的背景下，我们为什么要学习数学？数学对学生的发展意味着什么？数学到底要塑造学生什么？数学到底能塑造学生什么？这些问题看似平凡，实则非凡；看似简单，实则复杂；看似浅显，实则深远。其实，每个问题都是我们教育工作者必须弄清的数学教育哲学的基本问题。事实表明，无论是从人类文明的发展来看，还是从学生个人的发展来说，数学是一个不容忽视的意义的领域。数学是人类最高超的智力成就，是人类心灵最独特的创造，是人类文明的核心部分。数学是了解世界及其发展的主要钥匙之一。作为人类文明发展标志的数学，在人的发展中扮演着重要的角色。数学已成为个人参与社会的基本条件，每个人都需要学习数学。数学应该走进学生的生活世界，成为每个学生生活的组成部分，激发他们对生活的热爱，体现更多的人文关怀。数学应该促进学生的发展，震撼学生心灵，培养学生的好奇心，体现数学的文化价值。数学应该发展学生的能力，体现数学的思维价值。数学应该培养学生对美的追求，体现数学的艺术价值。从而，数学教学不是把数学各个领域的片段知识灌输给学生，不是把数学作为一个封闭系统，从那些完美的数学结论开始，而是从学生熟悉的现实生活、已有的数学经验开始，把数学作为一项人类的基本活动。应该少些强制，少些令人厌恶的机械训练。让学生思考！思考！再思考！教师不是为考试而教，学生不是为考试而学。数学不是无意义的符号，数学不是无意义的公式游戏，数学不是无意义的运算和推理。数学是一个意义的领域，数学并非虚无飘渺，其中萌动着思想的生命。今天，数学教育中的种种困惑与迷茫，都与数学意义的失落密切相关。走向意义的数学教育是时代的呼唤。在这里，数学意义不是一个逻辑概念，而是被理解为生命的表现。数学意义不是从文本中提炼出来的，而是从对话中创造出来的。数学意义蕴涵在运算和推理中，蕴涵在每一个数学概念的学习中，蕴涵在每一个数学定理的探究中，蕴涵在每一个数学问题的研究中。走向意义的数学教育要给每一个学生一片阳光，唤醒他们的心灵，成为学生难忘的人生经历。它让学生领略现代数学思想中令人鼓舞的概念，像夏天喝冰水那样令人清新。它让学生欣赏数学，感受数学定理与数学概念的美妙，像艺术那样令人振奋。它让学生发现优美定理、概念的形成过程创造出更有内涵、更有意义的数学文化，像呼吸那样顺乎自然。在数学教育中，当做题、考试、成绩成为数学教育关注的焦点时，数学就变成了一种无意义的诸多公式、定义、过程的罗列，数学意义——无论是科学意义还是教育意义——就离我们远去。然而，远离了意义的数学教育，也就从根本上远离了学生的生活。从而将数学知识局限于认识论的窠臼，片面强调数学知识的客观性、抽象性和确定性，遮蔽了数学知识所蕴涵的意义世界。所以，数学教育必须超越抽象的世界、符号的世界、逻辑的世界、知识的世界、绝对真理的世界以及升学工具的世界，迈向意义的世界。可以说，回归数学意义是每一个数学教育工作者神圣的使命。走向意义的数学教育理所当然应该成为新的教育方向，新的教育追求。
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