§2.2一元二次不等式的解法(1)
教学目的：掌握用二次函数的图像解一元二次不等式的解法。了解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，体会数形结合、化归的数学思想。形成利用一般与特殊的关系来解决数学问题的能力。掌握用区间表示集合的方法；通过变式教学，学会用一元二次不等式解决几种类型的数学问题，体会数学知识之间的内在联系，形成逻辑思维能力；初步会用不等式解决一些简单的实际问题，增加数学学习的兴趣和用已学知识解决实际问题的意识。
课型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学重点：一元二次不等式的解法。用区间表示不等式组的解集.
教学难点：利用二次函数的图像解一元二次不等式。会用不等式解决一些简单的实际问题。
教具使用：常规教育
教学过程：
引入课题
1．实例
在交通繁忙的路段，交通管理部门出于车辆安全和畅通的考虑，对汽车的行驶速度有一定的限制，超速行驶被视为违规。因为汽车在遇到紧急情况时，即使司机马上刹车，但由于惯性的作用，刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。车速越快，刹车距离越长，事故发生的可能性越大。实验表明，某种型号的汽车当速度每小时小于100千米时，若行驶在水泥路面上，则汽车的刹车距离s（米）与汽车的车速x（千米/时）有如下关系：s=0.00526x+0.000078x(x100)。
在某次交通事故中，测得一肇事汽车的刹车距离大于45.5米，问这辆汽车的车速每小时至少为多少千米。
根据题意，得0.00526x+0.000078x45.5。------①
2．提出问题
①是一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般形式是：
如何解一元二次不等式？
新课教学
为了得到一元二次不等式的一般解法，不妨先研究一个简单的
一元二次不等式的解法。
解法一：原不等式可化为，它等价与
将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。于是可得到原不等式的解集
解法二、利用数轴，－1、3将数轴分成三个部分，
当时，所以
当时，所以
当时，所以
可得原不等式的解集
还可得到解集为。
解法三、利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数取正值时的取值范围，即求该二次函数的图像
在轴上方时的取值范围。
我们知道，二次函数的图像是一条开口向上的抛物线，它与轴有两个交点，由方程的解可得交点的横坐标分别是，，容易看出，当时上述函数的图像在轴上方，；当时，上述函数的图像在轴下方，即，于是可得不等式解集为。
[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。
例1．利用二次函数图像解下列不等式。
（1）（2）
[说明]点评中强调一元二次方程，一元二次不等式和二次函数之间的联系。由学生归纳如何利用二次函数的图像解二次项系数为正的一元二次不等式的主要步骤：求出相应的一元二次方程的解；画出相应的二次函数的图像；写出不等式的解集。第2小题函数的图像与x轴相切，教师可提示学生思考如果图像与x轴相离时的不等式的解的情况。
例2．填表：
的根的判别式 的图像
0
0
0
不等式
的解集 不等式
提问：如何解二次项系数为负的一元二次不等式？
[说明]特别注意和时不等式的解集。二次项系数为负的一元二次不等式可通过转化为二次项系数为正的一元二次不等式或者直接用开口向下二次函数的图像来解。特别注意不等式的解集为空集或全集时的条件。
提问：对照表格，如何解不等式和
？
三、解决新课引入时的实际问题
利用上面介绍的一元二次不等式的解法，可得①式的解为x>93.00或x<-93.01.
根据题意，可推断这辆汽车在发生交通事故时的车速应大于93千米/时。这条信息将成为车祸责任认定的重要依据。
四、课堂练习
解下列不等式：
（1）2x-3x-20（2）-3x+x+1>0
(3)9x+6x+1>0(4)4x-x<5
(5)2x+x+10
五、作业布置
练习2.2(1)；练习2.2(2)
七、教学设计说明
1．本节课开始引入时利用课本例子，因为教材的例子是难得的实例，充分利用教材，让学生阅读，也可节省时间，直截了当明确本节课的任务。数学教学的本质是思维活动的过程，如何解决提出的问题？将一般问题特殊化，特例起到抛砖引玉的作用，再由特殊回到一般，这是数学中处理问题的常用方法。
2．在解的时候，解法一是运用了化归的数学思想，把一个生疏、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题来处理。化归的思想贯穿了解不等式这一章，分式不等式转化为整式不等式，含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式，无理不等式转化为有理不等式，超越不等式转化为代数不等式，高次不等式转化为低次不等式。
3．本堂课采用让学生自主探究的学习方式，在教师的引导下，通过对几个具有代表性的简单的一元二次不等式的求解归纳出一元二次不等式的解法。对于程度较好的学生，教师可隐去例2表格中的第一和第二行。利用二次函数的图像不仅解决了求一元二次不等式解的问题，而且还能求解形如，的不等式。函数、方程、不等式之间的联系是中学数学极其重要，也是非常精彩的内容，教师要不失时机的渗透，引导学生体会其中的奥妙。
§2.2一元二次不等式的解法(2)(3)
一、学习如何用区间来表示不等式的解集
用区间来表示不等式的解集
设a，b都为实数，并且a
集合{x}叫做闭区间,表示为；
集合{x}叫做开区间,表示为；
集合{x}或{x}叫做半开半闭区间,分别表示
为或。
（4）把实数集R表示为（-，+）；
把集合{x}表示为[a，+；
把集合{x}表示为(a,+)；
把集合{x}表示为（-，b]；
把集合{x}表示为（-，b）；
在上述所有的区间中，a，b叫做区间的端点，以后我们可以用区
间表示不等式的解集。
2．区间在数轴上的表示
[a，b]（a，b）
[a，b）（a，b]
[a，+）（a，+）
（-，b]（-，b）
3．练习
将上节课中不等式的解集用区间表示。
二、典型例题
例1．解不等式组：
3x-7x-100,①
2x-5x+20②
解：由不等式①的解集为,不等式②的解集为，可知原不等式组的解集为，它在数轴上的表示如图：
[说明]：解由两个或两个以上的不等式组成的不等式组的解，可以将解集表示在同一条数轴上，这样更直观和清晰。能否在数轴上准确的找到几个解集的公共部分，对一部分学生解决这个问题有一定的困难。
巩固练习：解下列不等式组：
（1）x-2x-3>0,(2)5-x>4x,
x+x-2>0.3x-5x<0.
例2．(1)写出一个一元二次不等式,使它的解集为(-1,3).
(2)若不等式ax+bx+3>0的解为-
解:(1)(x+1)(x-3)<0,即x-2x-3<0是一个解集为(-1,3)的一元二次不等式.
(2)解法一:可得方程ax+bx+3=0的两个根为-,3,且a<0.所以运用根与系数的关系得：-=且=-, 即a=-2,b=5.
解法二:方程(x+)(x-3)<0即x-x-<0的解为-
[说明]：要让学生知道解集为(-1,3)的一元二次方程有无数个,形如ax-2ax-3a<0(a0)或ax-2ax-3a0(a0)的方程都满足条件,但二次项系数为1的方程只有一个。
拓展练习:若不等式ax+bx+c>0的解集为(-2,3),求不等式cx+ax-b<0的解集.
例3.当k为何值时,关于x的一元二次不等式x+(k-1)x+4>0的解集为(-,+)?
解:函数y=x+(k-1)x+4的图像是开口向上的抛物线.因为不等式x+(k-1)x+4>0的解集为(-,+),所以整条抛物线在x轴上方,此时方程x+(k-1)x+4=0的<0.解得k(-3,5).
所以当-30的解集为(-,+).
[说明]：等价于问题“当k为何值时，函数y=x+(k-1)x+4的图像全部在x轴的上方”。教师可以将例3改编成：“当k为何值时,关于x的一元二次不等式x+(k-1)x+4〈0的解集为空集?”进一步让学生理解一元二次不等式，一元二次方程和二次函数之间的关联。
拓展练习：当k为何值时，不等式2kx+kx-0对于一切实数x都成立？
例4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应用税收外，还征收附加税。已知某种酒每瓶销售价为70元，不收附加税时，每年大约产销100万瓶;若征收附加税,每销100元要征附加税r元(叫做税率r%),则每年的产销量将减少10r万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r 应怎样确定?
解:设产销量为每年x(万瓶),则销售收入每年为70x(万元),从中征收附加税额为70xr%(万元),并且x=100-10r。
由题意知70(100-10r)r%112即r-10r+160解得2r8。
所以，税率定在2%至8%之间，年征收附加税额将不低于112万元。
[说明]由题意，应该用不等式解题，若用方程来列式则不能准确的表达题目的意思。需要注意不等式70(100-10r)r%112与方程70(100-10r)r%=112所表达的实际意义是不一样的。
巩固练习：距离码头南偏东60的400千米处有一个台风中心。已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响。问从现在起多少小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间大约多久。
三、课堂小结
（1）我们可以借助数轴来求得不等式组的解集。
（2）一些与一元二次不等式有关的问题，可以转化成相应的二次函数的问题，利用二次函数的图像，通过判断图像的开口，与x轴的交点情况来帮助解决问题。
（3）初步了解一元二次不等式在实际生活中的应用
四、作业布置
练习2.2(3),习题2.2
补充练习:
(1)已知集合A={x},集合B={x},求AB与AB.
(2)不等式<2的解集是R,求实数k的取值范围.
(3)已知函数f(x)=x+px+q,且f(2)=2,若对于任意实数x恒有f(x)x,求实数p，q的值。
（4）某船从甲地沿河顺流航行75公里到达乙码头，停留30分钟后再逆流航行42公里到达丙地。假如水流每小时4公里。要在2小时内完成航行任务，则船速每小时至少需要多少公里？
七、教学设计说明
1．这是两节习题课，通过对几个典型例题的学习，让学生了解和
掌握一元二次不等式的简单应用，更进一步的了解不等式，方程和函数之间的关联，培养学生化归（不等式和函数的相互转化）和数形结合的数学思想，增加数学的应用意识。
四个例题之间的联系不大，可单独处理。教学中设计了针对例题的巩固练习，拓展练习和补充练习，教师可以根据学生的实际水平和教学进度自行选取。
2．利用数轴求几个不等式解集的交集或并集，既直观又清晰。但是学生对于这种方法的使用还不熟练，在课堂教学中，教师要带动学生积极动手进行实践。
在应用题教学中，学生会习惯于用方程来解题。教师要帮助学生仔细阅读分析题意，讨论方程和不等式哪种形式更符合题意，体会一元二次不等式在实际生活中的应用。
7
-1
3
x
y
x
0
-1
3
a
b
x
b
x
a
a
a
b
x
b
x
a
x
a
x
a
x
b
x
b
x
10/3
2
1/2
-1
|
|
