黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷(文科)2016年1月
考生注意:
1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写,写在试卷、草稿纸上的解答一律无效;
2.答卷前,考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚,并贴好条形码;
3.本试卷共23道试题,满分150分;考试时间120分钟.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.
1.不等式的解.
函数的最小正周期是.的一个方向向量可以是.两个半径为的铁球化后铸成一个球,球的半径为..
在区间上有且只有一个零点,则.1
为偶函数且非奇函数,则实数的取值范围为.的正数,函数的反函数的图像都过点,则点的坐标是.的二项展开式中,若二项式系数的和为,则二项式系数的最大值为(结果用数字作答).
10.在△中,若,且,则.
为强化安全意识,某拟在未来的连续天中随机抽取天进行紧急疏散演练,选择的天恰好为连续天的概率是(结果用最简分数表示).,若曲线与曲线无交点,则.113.()和抛物线:,过的焦点的直线与交于、两点,若,且,则.14.,,满足,且,则与的夹角为.
20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零,“”是“为纯虚数”的[答](B).
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16.已知,下列不等式中正确的是[答](C).
A.B.C.D.17.为直线若与原点在直线的同侧,、满足的A).
A.B.C.D.
18.已知,,,是各项均为正数的等差数列,其公差大于零.,,,的长分别为,,,,则[答](C).
A.,均存在以,,为三边的三角形
B.,均不存在以,,为三边的三角形
C.,均存在以,,为三边的三角形
D.,均不存在以,,为三边的三角形
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
已知三棱柱的底面为直角三角形,两条直角边和的长分别为4和3,侧棱的长为10.
(1)若侧棱垂直于底面,求该三棱柱的表面积.
(2)若侧棱与底面所成的角为,求该三棱柱的体积.
[解](1)因为侧棱底面,所以三棱柱的高等于侧棱的长,
而底面三角形的面积,(2分)
周长,(4分)
于是三棱柱的表面积.(6分)
(2)如图,过作平面的垂线,垂足为,为三棱柱的高.(8分)
因为侧棱与底面所成的角为,所以,可计算得.(9分)
又底面三角形的面积,故三棱柱的体积.(12分)
20.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
如图,已知点是单位圆上一点,且位于第一象限,以轴的正半轴为始边、为终边的角设为,将绕坐标原点逆时针旋转至.
(1)用表示、两点的坐标;
(2)为轴上异于的点,若,求点横坐标的取值范围.
[解](1)点坐标为,(2分)
其中().(3分)
因为,所以点坐标为,即.(5分)
(2)设(),于是,,
因为,所以,即,(8分)
整理得,由,得,(10分)
此时,且,于是,且()得,且.
因此,点横坐标的取值范围为.(12分)
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,某地要在矩形区域内建造三角形池塘,、分别在、边上.米,米,,设,.
(1)试用解析式将表示成的函数;
(2)求三角形池塘面积的最小值及此时的值.
[解](1)直角三角形中,,直角三角形中,.
正方形中,由,得,于是,
代入并整理得.(4分)
因为,,所以,从而.(6分)
因此,().
(2),(8分)
将代入上式,得,(10分)
当时,,当且仅当时,上式等号成立.(12分)
因此,三角形池塘面积的最小值为平方米,此时米.(14分)
综上,,满足的关系式为.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知,,…,是由()个整数,,…,按任意次序排列而成的数列,数列满足().
(1)当时,写出数列和,使得.
(2)证明:当为正偶数时,不存在满足()的数列.
(3)若,,…,是,,…,按从大到小的顺序排列而成的数列,写出(),并用含的式子表示.
(参考:.)
[解](1),,;,,.(2分)
,,;,,.(4分)
[证明](2)若(),则有,于是.(6分)
当为正偶数时,为大于1的正奇数,故不为正整数.
因为,,…,均为正整数,所以不存在满足()的数列.(10分)
[解](3)().(12分)
因为,于是(14分)
(16分)
.(18分)
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知椭圆:(),过原点的两条直线和分别与交于点、和、得到平行四边形,,且为正方形,求该正方形的面积.
(2)若直线的方程为,和关于轴对称,上任意一点到和的距离分别为和,证明:.
(3)当为菱形,且圆内切于菱形时,求,满足的关系式.
[解](1)因为为正方形,所以直线和和.(1分)
点、的坐标、为方程组的实数解,
将代入椭圆方程,解得.
根据对称性,可得正方形的面积.(4分)
[证明](2)由题设,直线的方程为,(6分)
于是,,(8分).(10分)
[解](3)设与圆相切的切点坐标为,于是切线的方程为.
点、的坐标、为方程组的实数解.
①当或时,均为正方形,椭圆均过点,于是有.(11分)
②当且时,将代入,
整理得,于是,(13分)
同理可得.(15分)
因为为菱形,所以,得,即,(16分)
于是,整理得,由,
得,即.(18分)
综上,,满足的关系式为.
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