齿轮啮合原理

坐标变换:

旧坐标系XOY,新坐标系X₁O₁Y₁,新坐标系相对旧坐标系逆时针旋转了θ角,旧坐标原点O在新坐标系中的坐标为X₀,Y₀,则旧坐标系下的某点(X,Y)对应新坐标系下的坐标(X₁,Y₁)为:

X₁=COS(θ)*X+SIN(θ)*Y+X₀

Y₁=-SIN(θ)*X+COS(θ)*Y+Y₀

一个点坐标, 逆时针旋转了θ后的新坐标为:

X1=COS(θ)*X-SIN(θ)*Y

Y₁=SIN(θ)*X+COS(θ)*Y

共轭曲线:(外啮合,已知齿1曲线,及瞬心圆r1,r2,求和齿1曲线共轭的齿轮2曲线2)

建立两动坐标系X₁O₁Y₁,和X₂O₂Y₂.

齿1曲线上的M点旋转θ1度后,P1点和P点重合,则旋转后的M点也是齿2曲线上的一点

设M点在X₁O₁Y₁坐标系中的坐标为(x₁,y₁).对应的共轭点在X₂O₂Y₂中的坐标为(x2,y2)

1. tanγ=dy/dx,即为该点的导数

2. cosφ=(x1*cosγ+y1*sinγ)/r1

3. θ₁=π/2-(γ+φ)     θ2=(r1/r2)*θ1   a=r1+r2

4.  x2=cos(θ₁+θ₂)*x1-sin(θ₁+θ₂)*y1+a*SIN (θ₂)

y2=sin(θ₁+θ₂)*x1+cos(θ₁+θ₂)*y1-a*cos(θ₂)

齿2为齿条,则齿1的共轭曲线为(齿2坐标X₂O₂Y₂建在齿1节圆上):

1. tanγ=dy/dx,即为该点的导数

2. cosφ=(x1*cosγ+y1*sinγ)/r1

3. θ₁=π/2-(γ+φ)    

4.  x2=cosθ₁*x1-sinθ_1*y1+r1*θ₁

y2=sinθ₁*x1+cosθ_1*y1-r1

齿2为内齿轮,则齿1的共轭曲线为:

1. tanγ=dy/dx,即为该点的导数

2. cosφ=(x1*cosγ+y1*sinγ)/r1

3. θ₁=π/2-(γ+φ)     θ2=(r1/r2)*θ1   a=r2-r1

4.  x2=cos(θ₁-θ₂)*x1+sin(θ₁-θ₂)*y1+a*SIN (θ₂)

y2=sin(θ₁-θ₂)*x1+cos(θ₁-θ₂)*y1+a*cos(θ₂)

齿1为内齿轮,齿2为外齿轮,则齿1的共轭曲线为:

1. tanγ=dy/dx,即为该点的导数

2. cosφ=(x1*cosγ+y1*sinγ)/r1

3. θ₁=π/2-(γ+φ)     θ2=(r1/r2)*θ1   a=r1-r2

4.  x2=cos(θ₂-θ₁)*x1+sin(θ₂-θ₁)*y1-a*SIN (θ₂)

y2=sin(θ₂-θ₁)*x1+cos(θ₂-θ₁)*y1-a*cos(θ₂)

齿1为齿条,齿2为外齿轮,则齿1的共轭曲线为:

齿条上的一点m(x1,y1)要移动:L=x1+y1*tanγ

齿轮旋转θ₂=L/r2

x2=cosθ₂*x1+sinθ₂*y1+r2*(sinθ₂-θ₂*cosθ₂)

y2=-sinθ₂*x1+cosθ₂*y1+r2*(cosθ₂+θ₂*sinθ₂)

矢量:

矢量A(A_X*i+A_Y*j+A_Z*k), B(B_X*i+B_X*j+B_Z*k)

矢量A与B的标量积:A*B=A_X*B_X+A_Y*B_Y+A_Z*B_Z   或A*B=|A|*|B|*COS(θ)

                                                      |  i    j   k  |

矢量A与矢量B的矢量积:A×B=  | Ax  Ay  Az  |

                                                      | Bx  By  Bz  |

                                                    =(Ay*Bz-Az*By)*i+(Bx*Az-Ax*Bz)*J+(Ax*By-Bx*Ay)*k

                               |A×B|=|A|*|B|*SIN(θ)

点矢量A围绕单位矢量W 旋转θ得到一新矢量B 记着 B=A(W, θ)^R

B=COS(θ)*A+SIN(θ)*(W×A)+(1-COS(θ))*W

如 W为Z轴单位矢量,则

B=(A_X*COSθ-A_Y*SINθ)*i+( A_X*SINθ+A_Y*COSθ)*j+A_Z*k

结论:一空间曲线 R=X(U)*i+Y(U)*j+Z(U)*k围绕Z轴螺旋得到的曲面方程为:

R=(X(U)*COSθ-Y(U)*SINθ)*i+( X(U)*SINθ+Y(U)*COSθ)*j+(Z(U)+Pθ)*k

1.   阿基米德螺旋面:右旋

X0=U*COSα

Z0=U*SINα

可得:X=U*COSα* COSθ

    Y=U*COSα* SINθ

    Z=U*SINα+ Pθ    按 Z=0 →  θ=-U*SINα/P

X=U*COSα* COS(U*SINα/P)

Y=-U*COSα* SIN(U*SINα/P)

→ρ=-P/TAN(α)* θ

2.渐开线螺旋面

平成渐开线方程写为:

X₀=R_bCOS(δ+υ)+ R_bυSIN(δ+υ)

Y₀=R_bSIN(δ+υ)- R_bυcos(δ+υ)

螺旋面方程式可写为:

X= X₀*COSθ-Y₀*SINθ

Y = X₀*SINθ+Y₀*COSθ

Z= Pθ

按:SIN(A+B)=COSA*SINB+SINA*COSB:

 COS(A+B)=COS(A)*COS(B)-SIN(A)*SINB

即:

X= R_bCOS(δ+υ) COSθ+ R_bυSIN(δ+υ) COSθ- R_bSIN(δ+υ) SINθ+ R_bυCOS(δ+υ) SINθ

= R_bCOS(δ+υ) COSθ- R_bSIN(δ+υ) SINθ+ R_bυSIN(δ+υ) COSθ+ R_bυCOS(δ+υ) SINθ

 = R_bCOS(δ+υ+θ) + R_bυSIN(δ+υ+θ)

Y= R_bSIN(δ+υ+θ) + R_bυCOS(δ+υ+θ)

Z= Pθ

令τ=δ+υ+θ则渐开线螺旋面方程为:

X = R_bCOS(τ) + R_bυSIN(τ)

Y= R_bSIN(τ) - R_bυCOS(τ)

Z= P(τ-δ-υ)

令Y=0 → tanτ=υ

得到轴向齿形为:

X=R_b/COS(τ)

Z= P(τ-δ+ tanτ)