数形结合思想

2．数形结合思想

数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的．“以数辅形”是指借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的．

【典型例题】

002．（15南通）关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0 之间（不包括－1和0），则a的取值范围是．

【解析】

【方法一】

解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2－4ac＝9＋4a＞0，∴a＞－

，

设二次函数y＝ax2－3x－1，

∵方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间，∴x1x2＝－

＞0，

∴a＜0，∴二次函数y＝ax2－3x－1的图象如图所示，

∴当x＝－1时，y＝a＋3－1＜0，即a＜－2，

∴a的取值范围是－

＜a＜－2．

故答案为：－

＜a＜－2．

【方法二】

解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2－4ac＝9＋4a＞0，∴a＞－

，

∵方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间，∴x1x2＝－

＞0，

∴a＜0，

设－1＜x1＜x2＜0，∴x1＝

＞－1，x2＝

＜0，

解得a＜－2，

综上，a的取值范围是－＜a＜－2．

故答案为：－＜a＜－2．

【总结】根据一元二次方程与二次函数之间的关系，使用图象法可以快速解决问题．

【举一反三】

002．（14济宁）“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）．

A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b