平联盟荐文| 与比例线段有关的知识探究

xyz3i 2016-07-28

展开全文

一个好的数学教学题材，会让我们的数学可上的有声有色，教学效果事半功倍。这样，就需要我们有一颗善于归类的心。在日常教学中，对同类型题的整理进行一定的归类整理，不需刻意过多，是促进学与教的一个可行途径。

“归其类，识其形，析其法，究其因”，以一个知识背景展开一个大知识点，即可达到复习的效果，又可提升解题能力。

本文由郭老师和笔者共同完成！

美丽的“和为1”

基础例题1

分析：

1、很漂亮的组合A字，这样的题，求比例和为“1”，寻求合适的A字形比例线段，利用中间比过渡求和；

2、思考流程：如下图；

基础例题2

分析：

1、很漂亮的组合A字，这样的题，求比例和为“1”，寻求合适的A字形比例线段，利用中间比过渡求和；

2、思考流程：如下图；

变式组合

思考流程：

难度升级

图形分解与构造：

法1思考流程：

压轴片段

知识铺垫：

1、利用tan∠OCB=tan∠CAO=1/2可以证明AC⊥BC；

2、【拓展定理】利用角平分线定理

去线，分解结构：

思考流程：

简答：

压轴变式训练：

第三问图文解析：

“和为1”的方法：

补充了等积变换，与垂直高有关，面积法应是一个可行的方法！

添置平行线的方法：

当然，上面的“和为1”本质也是添置平行线！

这三个方法，作为基本方法，为打破“和为1”的思维定势而生！

拓展方法：

四点共圆，作为拓展知识，平时涉猎甚少，作为一个方法补充。

本题解答：

反思

一个精炼的教学题材，会让我们的数学课上的有声有色，教学效果事半功倍。

引导学生在已有知识的基础上，拓展所学数学知识的空间，加深对所学数学知识的理解，深刻理解数学知识的内涵，进一步提高学生应用数学知识解决具体问题的能力和技能。

要达到教学事半功倍的效果，除了发觉隐藏在题型背景下的知识本质，还要抓住后续的教学思考。显然，这样的思考应是开放的！通过探讨，方可获知教学上的感悟！

立足教材，获得变式

上教版初三上P38页例题7变式

点评：

笔者认为，本题体现对书本知识的一个延续，对基础图形的一次反思，我的教学过程中，会不自主的固化基础图形，但殊不知，通过更为深入的讨论，会发现以前自己所没有发现的内容。所以，巩固基础图形的同时，要对基础图形的衍生结论或变式图形进行归类整理，对打破思维定势有一定的作用。同时，深入研究教材中的每一个基本的几何图形，对学与教都会有帮助。

加入“重心元素”

点评：

1、重心元素的加入，使得“和为1”这个体系在“知识链的延续”上更加丰富。如本题，重心，隐藏了定义：三角形两条中线的交点，这样，D是中点！

2、得到AM:MD=2：1，构造外部8字形，同时利用梯形中位线，显得很是流畅。当然，本题有各种不同的添线方法，小草认为，本方法最为漂亮！下面，给出一个模拟题，体会“方法借鉴”亦是“刷题”的目标。

变式训练：

“和为1”在中考压轴题中的运用1：

方法1：

方法2：

方法3：

方法4：

方法5：

参考答案：

感悟：

和为1的系列，是笔者通过学习与“比例线段”有关的一些基础图形所得到的感悟，发现，利用中间比过渡，有一些A字形与8字形的组合图形，会出现比列和为1的情形，并可以比较多的迁移到与本知识点有关的压轴题中，以上内容，从基础题开始，到书本教材的变式，再到压轴题中的运用，旨在通过题组式的训练，提高学生的问题解决能力，同时提高自身的题型组织能力，亦可以成为一个系列教学，帮助学生知悉比例线段的题型变式。

当然。为了打破思维定势，本帖中的这道压轴题，在方法3、4、5中，运用了添置平行线，面积法列比例式，并非“和为1”的方法，作为本系列的方法补充。

加入“中位线元素”

点评：

这个组合图形，里面蕴藏了各种A字与8字形的构造，加上中位线条件后，引入字母量来分析数量关系是一个不错的选择！辅助线运用上，小草觉得，外延构造不会破坏已知条件，不会打散已知线段，是最好的方案。

加入“平行四边形元素”

点评：

1、本题线很多，要具备分解出需要的形状的能力，才能解决本题。图中黄色三角形与三角形ABC均相似，蓝色四边形均为平行四边形，这是最基本的分析。平行四边形为相等边的过渡提供了条件。

2、当然，“和为1”的问题，最终转化为“同分母分式相加减”，是需要感知的！把分线段全部过渡到BC边或AC边上亦是可以的。

综合提升

从一道一模题获得的反思！！

习题剪影：

如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于点E.