一阶电路的零状态响应
当所有的储能元件均没有初始储能,电路处于零初始状态情况下,外加激励在电路中产生的响应称为零状态响应。 下面分别讨论激励为直流、正弦交流情况下,、电路的零状态响应。 一、直流激励下的零状态响应。 1、串联电路 如图8-5-1所示,开关S原置于位置2,电路已达稳态,即,电容上无初始储能。在时刻,开关S由2切换至1,电路接通直流电压源,求换路后的零状态响应、、。 图8-5-1 当,开关S切换至1,由得: (式8-5-1) 这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。由微分方程求解的知识得,特解:
齐次方程的通解:
全解为: (式8-5-2) 根据换路定则:
由(式8-5-2):
因此:
最终求得: (式8-5-3) (式8-5-4) (式8-5-5) 根据(式8-5-3)—(式8-5-5),画出零状态响应、与随时间变化的曲线,如图8-5-2所示。 图8-5-2 在图8-5-1所示电路中,当后,电压源对电容充电。电容从初始电压为零逐渐增大,最终充电至稳态电压,而电流则从初始值逐渐减小,最终衰减至稳态值零。 2、串联电路。 如图8-5-3所示,开关S置于位置2,电路已达稳态,即,电感L上无初始储能。在时刻,开关S由2切换至1,电路接通直流电压源,求换路后的零状态响应、和。 图8-5-3 当后,开关S切换至1,由得: (式8-5-6) (式8-5-6)是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。该方程的全解是特解和齐次方程的通解之和,即: (式8-5-7) 表示全解,表示特解,表示通解。换路后电路达到新的稳定状态的稳态电流就是特解,即: (式8-5-8) 其通解为: (式8-5-9) 于是,全解为: (式8-5-10) (式8-5-10)中的积分常数A由初始条件确定。在时刻,根据换路定则:
由(式8-5-10):
因此:
最终得到: (式8-5-11) (式8-5-12) (式8-5-13) 显然,,满足。图8-5-4绘出了零状态响应、和的曲线。 图8-5-4 二、正弦交流激励下的零状态响应 1、串联电路 仍以图8-5-1所示电路为例,将直流电压源改为正弦交流电压源,当后,由得到电路的微分方程为: (式8-5-14) 的全解等于特解和通解之和,即:
由于激励是正弦交流激励,即为稳态分量,即为暂态分量。稳态分量可利用相量计算:
式中 :
暂态分量仍为,于是全解为: (式8-5-15) 当时刻,根据换路定则,确定积分常数: 由(式8-5-15):
最终得到: (式8-5-16) (式8-5-17) (式8-5-18) (式8-5-16)~(式8-5-18)说明电源的初相角对暂态分量的大小有影响,通常称为接通角。当或时,电容电压的暂态分量为最大。从(式8-5-16)不难看出,电容过渡电压的最大值无论如何不会超过稳态电压幅值的两倍。但是从(式8-5-17)可以看出,在某些情况下,过渡电流的最大值将大大超过稳态电流的幅值。 2、RL串联电路 仍以图8-5-3所示电路为例,将直流电压源改为正弦交流电压源,当后,由KVL得到电路的微分方程为: (式8-5-19) 初始条件仍是。如前所述,非齐次微分方程的全解是特解与通解之和,即:
(式8-5-19)右边是正弦函数,特解也是正弦函数,特解就是正弦交流激励下的稳态电流,可用相量求解:
式中: , (式8-5-20) 暂态电流仍为: (式8-5-21) 于是全解为: (式8-5-22) 根据换路定则:
由(式8-5-22):
因而:
最终得到: (式8-5-23) (式8-5-24) (式8-5-25) |
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