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极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1(定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证 ,0，当|q|1时,bn,limqlim(3x,1),5lim,0(a,b为常数且a,0);;;等等 明，例如:,,,nx,2n,,不存在，当|q|,1时an, (2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格 定义证明。 2(极限运算法则 定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x) lim[f(x),g(x)],A,B (2) limf(x),g(x),A,B f(x)A(3) lim,,(此时需B,0成立)g(x)B 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3(两个重要极限 xsinlim,1(1) x,0x 11xxlim(1，),elim(1，x),e(2) ; x,,,0xx 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介:靳一东，男，(1964—)，副教授。 1xxsin333,2xlim(1，),elim(1,2x),elim,1例如:，，;等等。 x,,x,0xx,0x3 4(等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有: x,0 xxtanxarctanxln(1，x)sinxarcsinxe,1,,,,,, 。 g(x)g(x),0说明:当上面每个函数中的自变量x换成时()，仍有上面的等价 23x2,xe,13xln(1,x)关系成立，例如:当时， , ; , 。 x,0 1 1/5页 x,xf(x),g(x),f(x),g(x) 定理4 如果函数都是时的无穷小，且,，,，则当f(x)g(x)f(x)g(x)01111 f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)111limlimlimlimlim存在时，也存在且等于，即=。 f(x)x,xx,xx,xx,xx,x00000g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)1115(洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数和满足:(1)和的f(x)g(x)f(x)g(x) 极限都是0或都是无穷大; (2)和都可导，且的导数不为0; f(x)g(x)g(x) ,f(x)lim (3)存在(或是无穷大); ,g(x) ,,f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在，且等于，即= 。 ,,g(x)g(x)g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达 0,法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型;0, 条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以 连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。 6(连续性 x 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有f(x)0 limf(x),f(x) 。 0x,x0 7(极限存在准则 定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。 {x},{y},{z}为三个数列，且满足: 定理8(准则2) 已知nnn y,x,z,(n,1,2,3,？)(1) nnn limy,alimz,a (2) ， nnn,,n,, limxlimx,a 则极限一定存在，且极限值也是a ，即。 nnn,,n,, 二、求极限方法举例 1( 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 3x，1,2lim例1 x,1x,1 22xx(31)2333，,,limlim,,解:原式= 。 x,1x,14xxxx(1)(312)(1)(312),，，,，， 注:本题也可以用洛比达法则。 limn(n，2,n,1)例2 n,, 分子分母同除以nnnn[(，2),(,1)]33lim,lim,解:原式= 。 n,,n,,2nn，2，,1211，，1,nn nn(,1)，3lim例3 nn,,n2，3 2 2/5页 1n(,)，1n上下同除以33,lim,1解:原式 。 n,,2n()，13 2( 利用函数的连续性(定理6)求极限 1 2xlimxe例4 ,x2 1 2xf(x),xex,2解:因为是函数的一个连续点， 0 1222e,4e 所以 原式= 。 3( 利用两个重要极限求极限 1cosx,lim 例5 2x,03x xx222sin2sin122limlim,,解:原式= 。 200x,x,x63x212(), 2 注:本题也可以用洛比达法则。 2 xlim(1,3sinx)例6 ,x0 1,6sin1,6sinxx,x,6,3sinxx,3sinxlim(1,3sinx),lim[(1,3sinx)],e 。 解:原式=,0,0xx n,2nlim()例7 ,,nn，1 ,3n，1,3，1nnn,,3,3n，1,3，1n,3,3lim(1，),lim[(1，)],e解:原式= 。 ,,,,nnn，1n，14( 利用定理2求极限 12xlimsin例8 x,0x 解:原式=0 (定理2的结果)。 5( 利用等价无穷小代换(定理4)求极限 xln(13x)，lim 例9 2x,0arctan(x) 22arctan(x)？x,0时，ln(1，3x) 解:,，,， x3x xx,3？ 原式= 。 lim,32x,0x xsinxe,elim例10 ,x0x,sinx ,sinxxsinxsinxeeexx(,1)(,sin)lim,lim,1解:原式= 。 ,,x0x0xxxx,sin,sin注:下面的解法是错误的: 3 3/5页 xsinxeexx(,1),(,1),sinlim,lim,1 原式= 。 x,0x,0xxxx,sin,sin 正如下面例题解法错误一样: xxxxtan,sin,lim,lim,0 。 33x,x,00xx 12tan(xsin) xlim例11 x,0sinx 111222解:， ？当x,0时，xsin是无穷小，？tan(xsin)与xsin等价xxx 12xsin1xxlim,limsin,0 所以， 原式= 。(最后一步用到定理2) x,0x,0xx 6( 利用洛比达法则求极限 说明:当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时， 洛比达法则还可以连续使用。 1cosx,lim例12 (例4) 2x,03x sinx1lim,解:原式= 。(最后一步用到了重要极限) x,06x6 ,xcos 2lim例13 x,1x,1 ,,x,sin,22,,lim解:原式= 。 x,112 x,sinxlim例14 3x,0x 1cosxsinx1,limlim,解:原式== 。(连续用洛比达法则，最后用重要极限) 2x,x,006x63x sinxxcosx,lim例15 2x,0xsinx 解: sinxxcosxcosx(cosxxsinx),,,limlim,,原式22x,x,00xx3x, xsinx1lim,,2x,033x 11,lim[]例18 x,0x，xln(1) 11lim[,],0解:错误解法:原式= 。 x,0xx 正确解法: 4 4/5页 ln(1，x),xln(1，x),x原式,lim,limx,0xln(1，x)x,xx,0 1 ,1x11，x,lim,lim,。x,0x,02x2x(1，x)2 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 x,2sinxlim例19 x,,3x，cosx 1,2cosx0lim解:易见:该极限是“”型，但用洛比达法则后得到:，此极限 x,,3,sinx0 不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下: x2sin1,xlim原式= (分子、分母同时除以x) x,,xcos3，x 1 = (利用定理1和定理2) 3 7( 利用极限存在准则求极限 limxx,2,x,2，x,(n,1,2,？)例20 已知，求 n1n，1n,,n xlimxlimx,a{x}解:易证:数列单调递增，且有界(0)，由准则1极限存在，设 。对已nnnn,,,,nn x,2，x知的递推公式 两边求极限，得: n，1n a,2，aa,2a,,1 ，解得:或(不合题意，舍去) limx,2所以 。 nn,, 111lim(？)，，，例21 222n,,n，1n，2n，n n111n,，，？，,解: 易见: 22222n，nn，1n，2n，nn，1 nnlim,1lim,1因为 ， 22n,,n,,，1nn，n 111lim(，，？，),1所以由准则2得: 。 222n,,n，1n，2n，n 上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。 5 5/5页全文完 |
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