每日一题[216] 分而治之

2001年全俄中学生数学奥林匹克十年级第5题：

已知正数 满足 ，求证： ．

---

证明    利用恒等式

可得欲证不等式即

考虑函数 在 处的切线 ，如图．

于是可得局部不等式

该不等式也可以对 运用算术-几何平均值不等式得到，等号取得的条件为 ．

因此原不等式得证．

---

注    在三元均值不等式的证明中，如果能够“分离”变元，就可以考虑利用切线法，可以参考 每日一题[210] 代数不等式的证明 ．