“讲数学，重认知，求发展”——我的教学观谷丹（北京四中 特级教师）“九五”期间，我们数学组承担了北京市科研规划课题《中学全面数学教育观的实践与理论研究》，在此期间，基本形成了北京四中教研组比较一致的数学教育观，即“中学全面数学教育观”，主要内容是：从数学的特征看，我们的数学教学既要重视数学内容的形式化、抽象化的一面，更要重视数学的发现、创造过程中具体化、经验化的一面；从教育的任务看，我们既要注意提高学生的数学学业水平和数学素质，也要注意提高学生的基本素质和持续发展的能力，注意提高学生的心理健康水平。 在此基础上，我们在“十五”期间承担了《中学全面数学教育观的 教学实践研究 》，在研究过程中，我们逐渐形成了与“中学全面数学教育观”相适应的设计、实施、评价教育教学过程的研究重点，可以简要地表述为：讲数学，重认知，求发展。 所谓讲数学，就是要不断细致、深入地考查我们的数学教学过程，是否比较充分地挖掘了教学内容的数学内涵，能不能更深刻有效地让学生体验到数学的“味道”。 所谓重认知，就是要更为关注与尊重学生的认知规律，既不因过高估计学生的认知水平而使教育教学变得欲速不达，也不因过低估计学生的认知能力而限制了学生更生动活泼的发展。 所谓求发展，就是特别强调，在教育教学过程中，教师学生要共同发展，不断提高双方的持续发展能力。 这一教学观，在我们的概念课、习题课、活动课与（高三）复习课的教学中，皆有所体现。 一、概念课 在概念课的教学中，我们强调：1. 探究从概念始；2. 重来源，重方法；3. 重视“核心概念”的教学。 1．探究自概念始 探究自概念始，就是要在讲解数学概念时，为学生创设尽可能开放的探究空间，引导他们体验数学概念发生发展的过程。但是，不同的数学概念，对学生而言，探究的难度也是不尽相同的，所以，我们要从“重认知”的角度考虑，如何用符合他们认知能力与学业水平的方式，展开教学过程。 说明：有些数学概念形成的“规则”并不显而易见，这就需要教师用适当的问题，以提示的方式，引导学生发现或关注这些“规则”，向学生“说明”这些背后的数学思想。 示例 1 指数函数的概念
通常的教材，都会从实际问题出发，由一个指数型函数（如细胞分裂问题等等）引入指数函数。我在课上就会要求学生看书，并提问：“刚才实际的例子，是指数函数么？为什么指数函数
引导： 有些概念，通常在明确问题以后，学生们就可以自行得出结论。这类概念或公式，只需教师创设一个清晰的探究目标，就能引导学生完成探究任务。 示例 2 等比数列前 n
项和公式 等比数列前 n 项和公式，本质上是希望得到由等比数列的基本量（
选择：有些概念，可以有多种引入方式，我们应该仔细分析，选择那些从生活实际或数学知识体系发展过程而言更为自然的方法，引入对概念的探究。 示例 3 椭圆的定义与标准方程 椭圆的概念有多种引入方式，学生会很直观地感觉到，椭圆就是“压扁了的圆”；在学了圆是“平面上到一个定点的距离为常数的动点轨迹”后，很自然会问，平面上到两个定点的距离相等的动点轨迹是什么？平面上到两个定点的距离和或差的动点轨迹是什么？我们在教学中，就可以考虑将学生的直观认知与轨迹问题中自然会产生的数学问题结合起来的方式来引入椭圆定义与标准方程的探究。 铺垫： 有些概念，因为准确把握、深入理解的数学知识或方法不一定在前期学习中已经有所准备，甚至在近期的学习过程中也很难涉及，我们一般强调在教学中“别讲错”，并尽可能让学生对此概念不要产生误解，为将来（升入高等院校）的学习做好比较扎实的铺垫。 示例 4 几何概型
没有一定的测度论的知识背景，要想准确理解几何概型是比较难的事情。我们通常会在用比较直观的问题让学生对“几何概型”形成比较直观的认知后，适时提出下面的问题：在区间
通过对这个问题的探究，帮助学生对几何概型中“仅与测度有关，与形状、位置无关”与古典概型中的“等可能”的不同含义有些感觉。 2．重来源，重方法 我们强调，在引入数学概念时，要注重考虑概念的来源与形成概念的方法。 两个主要来源：数学概念的两个主要来源是实际生活与数学体系发展的自然要求。我们应该充分考虑在讲解一个具体概念时，更偏重于哪个“来源”会更有利于学生对数学知识与数学思想方法的理解与把握。 示例 1 对数函数 对数函数可以由生活中的实例引入，但也可以直接从指数的逆运算引入，而这与学了加法学减法，学了乘法学除法……一样，是一个很数学化的引入方式。 示例 2 等比数列 与“对数函数”一样，等比数列的概念既可以通过生活中的实例引入，亦可以从数学知识发展的必然路径引入。在学习了数列的一般概念以后，等差数列与等比数列实际上是两个最简单的、有一定研究价值的递推数列。所以，我们在学习等差数列之前或之后，可以问学生，最简单的递推关系是什么？让学生体会，为什么我们没有研究等和数列，等积数列？为什么我们在研究了等差数列以后，必然会研究等商（比）数列？ 两类主要方法：数学概念的表述，可以很粗糙的分成两类：一类是将概念所包含的要素彼此严谨且有逻辑地组合在一起；一类是依次描述建构概念的过程，最终“做出”概念的指向物。前者我们应引导学生关注概念的每一个要素的含义与作用，后者则要引导学生体验“建构”的过程。 示例 3 双曲线 双曲线的要素应包含两个焦点、焦距、“差”的绝对值、“差”为常数等等。 示例 4 二面角的大小 二面角的大小有不同的等价定义方式，我们可以让学生将他们对“二面角的大小”的直观感觉提炼成准概念，经比较、选择、完善，体验此概念的形成过程。 3．重视“核心概念”的教学 高中数学学习中，有些概念内涵丰富，应用非常广泛，如：函数，方程，运算律，统计与概率等等，我们应十分重视这样一些“核心概念”的教学。 函数：我们强调两种说法（变量说与映射说）并重，两种工具（数与形）并重，反复重复…… 方程：方程的概念与思想，贯穿于高中数学学习的各个阶段，我们应特别关注培养与提高学生列方程、理解方程、解方程（组）的能力。 运算律：运算律在高中阶段所涉及的知识比较简单，因而师生往往容易忽视对它的理解与探究，但对运算律的关注与探究，往往能够帮助学生更好地理解代数思想的应用方法与价值。 统计与概率：在高中阶段，统计与概率的教学内容不算少，但往往因为所需的知识与方法准备不够充分，所以不少内容往往是“简装版”，或者“欲言又止”。我们在这一部分的教学，可以更为关注在“不说错”的基础上，让学生对统计思想与或然推理等重要思想方法有所体验。 二、习题课 在习题课的教学中，我们强调： 1. 化“习题”为“问题”； 2. 重规律，重关联； 3. 重过程性评价，鼓励探究。 1．化“习题”为“问题” 习题课，不应是习题的堆砌。我们强调，在习题课上，要用恰当的“问题”，让学生在学习了新的概念或方法后，体会发现或提出“问题”的方法或方向，引导学生从多角度探究解决问题的过程。 示例 1 圆的切线方程在学习了直线与圆的位置关系的判定方法和在圆 （ 1 ）已知圆 （ 2 ）已知曲线 通过对解决问题的代数或数形结合方法的探究与比较，使学生更准确地理解与把握解决直线与圆相切问题的方法。 2．重规律，重关联 同类问题往往有几种不同的解题方法，我们希望在习题课上能通过对不同方法的分析、比较，让学生体会不同方法所适用的条件与特点，从而使学生更好地理解与把握解决问题的思想方法。 示例 2 函数问题——求参数的取值范围 “求参数的取值范围”是一类重要的函数问题，解决问题的方法也多种多样。我们在教学中，尽量选取那些适合“一题多解”的题目作为习题课的例题，从而不仅能给学生提供多角度探究解决问题的方法的空间，而且能通过对不同方法的识别与比较，让学生体会解决问题的方法体系的建构过程。 例 已知函数 简答： 法 1 二次函数： 法 2 转化为简单熟悉函数： 法 3 分离变量： 3. 重过程性评价，鼓励探究 在习题课中，学生提出的解决问题的方法，有些很漂亮，有些比较繁琐，有些可行，有些可能不一定正确，我们在教学过程中，应该重视对学生探究过程中表现出来的有价值的部分予以肯定，对不足部分通过引导课堂上师生间的交流讨论，予以矫正完善，不可简单地以“对”、“错”论英雄。 三、活动课 我们在活动课上，强调：1. 活动要有数学味道； 2. 重参与，重价值； 3. 尽量拓展活动的时间与空间。 1.活动要有数学味道 在数学活动课上，不一定分分秒秒都在“讲数学”，甚至可以说，也不应该分分秒秒都在只讲数学，但是从整体上看，那些姑且称为非数学的内容，更多的应该是为了讲好数学或者为了帮助学生们学好数学派生发展出来的东西，我们如果能深入地理解把握了所教数学内容的内涵，我们才更有可能更好地让这些似乎是“非数学”的内容为数学学习的过程增添趣味、活力和光彩，而不至于让它喧宾夺主。 示例 1 一元一次方程的应用 在初一教一元一次方程的应用时，我布置学生根据自己身边的实例，编一些一元一次方程的应用题课前交给我。课上，我选择了几位同学将他编纂的题目出给大家，并评点同学们的解题过程。其中有一位同学编的题目令我影响深刻：我爸爸要出差 6 天，我妈妈不会做饭，所以要到商场去买些饺子来当做晚饭。已知我和妈妈一次要吃四两饺子，商场的饺子是一斤一包的，问：我们应该买几包饺子？这道在我来看没什么难度的题目，却引来了孩子们的热烈讨论，究竟应该“四舍五入”买两包？还是应该买三包？能不能有其他的解决问题方案呢？……通过讨论，孩子们对应用题教学中的一个难点——“根据实际情况判断应用题整数解的取法”有了相当明晰的领悟，以至于在以后学习中，遇到“取整数解”问题时，孩子们都会说“这是‘饺子问题'！” 2.重参与，重价值 活动课应该让更多的学生参与其中，所设置的活动主题应该具有一定的数学探究价值。 示例 2 统计的起始课 现行教材所涉及的统计内容，主要是对统计数据进行一定的计算处理，有时也要求学生根据计算结果做出一定的统计决策。但是，现实生活中，如何获得可靠的统计数据，如何做出有效的统计决策，是更为要紧的问题。因此，我们在高中讲必修三“统计”一章的第一节课时，就是对下面一道题目进行讨论： 讨论题： 百度贴吧进行了“娱乐明星全球人气榜”的投票，到 12 月底，其中几位明星的投票统计结果如下：
由此可以判断，若电影男女主角搭配为“韩庚 + 李宇春”，“吴秀波 + 王珞丹”，“葛优 + 巩俐”，则电影票房的号召力依次减弱。课上，临时分为数个小组，对这个“统计判断”的方方面面展开分析、质疑，效果之好，远超我的意料。 3．尽量拓展活动的时间与空间 我们比较反对进行为活动而活动的“活动课”，也不是很在意“活动课”在时间、形式等等方面的规范性要求，而是主张“活动”是学习数学诸多方式之一，我们应该根据学习的内容灵活选择、设计教学过程，我们也尽量希望选择那些能够促使学生在课前课后都能持续关注的课题作为活动课的主题，更希望学生会在活动中有远较课本知识方法提供的更为广阔的探究空间。 示例 3 框图 教材上有关“框图”的内容，比较简单，学生接受起来并不困难。但现实生活中，“框图”却有着非常广泛的应用。所以，我在上“框图”这一部分内容时，这样设计了教学过程：先自学课本内容，然后可自行组成 2~3 人的小组，选择任何一个你们认为可以用“框图”表达的实例，一周以后，在课上向大家介绍一下。 一周以后，同学们的汇报选题，五花八门，非常有趣。不少同学还介绍了自己在制作“框图”中遇到的困难，调整改进的过程。一节课结束，大家还意犹未尽，强烈要求再给一节课的汇报展示机会…… 示例 4 抛物线 在讲完圆锥曲线的椭圆、双曲线后，我们在几个理科实验班中组织学生分小组“承包”了四节“抛物线”的教学。学生们讲解概念、选择例题、提问同学并加以评点、留作业等等，每个环节都挺像模像样，既有对老师们平时上课时教学方式的类比模仿，也有具有自己特点的“创新”，更有一些“小老师”慨叹：当老师真不容易呀！ 四、（高三）复习课 高一、高二年级，我们很少上对学习内容进行阶段性整体回顾的“复习课”，所以，关于“复习课”的教学理念更多是针对高三的高考复习提出来的。 在高三复习中，我们强调：1. 关注信息“存入”与“提取”的异同；2. 复习的三大任务就是：帮助学生建立与优化解决问题的方法系统，掌握解决问题时的思考与表达程序，不断提高自我纠错的自检能力；3. 制定与落实合理有效的分阶段复习目标。 1．关注信息“存入”与“提取”的异同 从学生的认知特点看，高三数学复习与前期的数学学习相比，可以类同于认知过程信息处理的“提取”与“录入”过程。前期的数学学习，学生主要的学习任务可类同于信息的“录入”过程，学生逐个循序渐进地学习新知识、新方法，将这些知识方法嵌进认知结构中，即使在平时的练习与测试中需要将其“提取”出来加以应用，也往往是在相对明确、狭小的指定范围内实行。高三复习中，学生主要的学习任务，更类同于能核验、校正、完善先期“录入”于认知结构中的信息，同时建立优化信息的检索方式与系统，以便在综合性、灵活性更强的问题情境准确、快捷地“提取”出来，解决问题。 2. 系统，程序，自检 在高三复习过程中，我们将带领、指导学生逐个梳理高中阶段习得的知识方法，特别应注意指导学生按照一定的思考与表达程序完成应用这些知识方法解决问题的过程。 同时，要通过帮助学生理解、把握具体知识方法之间的关联，指导学生逐渐建立、优化分析问题、解决问题的知识与方法系统，使学生在解决具体问题时，能识别需解决问题的类型，能在系统中选择比较适当的解决问题的办法。 我们还要帮助学生提高在解决问题过程中自我检查的意识与能力，以提高解题过程的准确性与简捷性。 3. 分阶段落实复习目标 （1）梳理阶段（自高三前暑假至高三第一学期末） 这个阶段的主要任务是带领学生全面梳理“程序”、“系统”、“自检”的内容。 （2）提高阶段（自高三寒假至一模前） 这个阶段的复习任务主要是帮助学生提高应用程序、系统、自检的能力。 （3）应试阶段（自一模至高考） 这个阶段的复习任务主要是指导学生在连续不断的重要考试中，有效提高程序、系统、自检在应试状态中的应用能力。 在高三，结合我们的三大复习任务，要对学生进行大量的学习指导与心理辅导工作，这些内容，我在“我的学习教育观”中将有更为详细的介绍。 |
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来自： xulangmang > 《2021教育教学》
中要规定 
呢？”通过提示，学生关注定义域与参数选择取值范围的理由，向学生“说明”函数定义域的作用和函数性质的价值。 
等）的简单形式表达数列的前 n 项和 
，教师若明确指出这一点，就能让学生通过各种方法，化简 
的表达，获得等比数列前 n 项和公式。 
中任取两数 
，求 
的概率。 
上一点的圆的切线方程以后，我们通常会给出类似下列题目： 
，求分别过点 
的圆 
