1.黑板上写着1~15共15个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1。例如,擦掉5和11,要写上15。经过若干次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是几? 2.在黑板上任意写一个自然数,然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数,称为一次操作。问:最多经过多少次操作,黑板上就会出现2? 3.口袋里装有101张小纸片,上面分别写着1~101。每次从袋中任意摸出5张小纸片,然后算出这5张小纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是几? 4.在一个圆上标出一些数:第一次先把圆周二等分,在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半圆弧分别二等分,在分点标上相邻两分点两数的平均数3(见右图)。第三次把四段弧再分别二等分,在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去,当第8次标完后,圆周上所有标出的数的总和是多少? 5.六个盘子中各放有一块糖,每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中,这样至少要做多少次,才能把所有的糖都集中到一个盘子中? 1. 106。 提示:操作一次,黑板上的数减少1个,数字总和减少1。经过14次操作,剩下的一个数是 (1+2+…+15)-14=106。 2. 2次。 提示:若写的是奇数,则只需1次操作;若写的是大于2的偶数,则经过1次操作变为奇数,再操作1次变为2。 3. 51。 提示:口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。 4. 758。 提示:第一次标完数后,以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和,即每次标完数后,圆周上的所有数字之和是原来的2倍。第8次标完后的总和是 6×28-1=6×27=768。 5. 4次。 提示:将各次操作表示如下: (1,1,1,1,1,1)—→(0,3,1,1,1,0)—→(2,2,1,1,0,0)—→(4,1,1,0,0,0)—→(6,0,0,0,0,0)。
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