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数值分析篇 2.1 微分 diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; >>S2 = 'sin(a)'; >>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; >>diff(S1) ans=18*x^2-8*x+b >>diff(S1,2) ans= 36*x-8 >>diff(S1,'b') ans= x >>diff(S2) ans= cos(a) >>diff(S3) ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 >>simplify(diff(S3)) ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 2.2 积分 int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 分式的解析式(analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 我们示范几个例子： >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; >>S2 = 'sin(a)'; >>S3 = 'sqrt(x)'; >>int(S1) ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x >>int(S2) ans= -cos(a) >>int(S3) ans= 2/3*x^(3/2) >>int(S3,'a','b') ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) >>int(S3,0.5,0.6) ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) >>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 ans= 0.0741 2.3 求解常微分方程式 MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， condition则为初始条件。 假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 y'=3x2, y(2)=0.5 y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 y'=3y+exp(2x), y(0)=3 对应上述常微分方程式的符号运算式为： >>soln_1 = dsolve('Dy =3*x^2','y(2)=0.5') ans= x^3-7.500000000000000 >>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 >>soln_2 = dsolve('Dy =2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') ans= atan(x^2+1) >>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y +exp(2*x)',' y(0) = 3') ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 2.4 非线性方程式的实根 要求任一方程式的根有三步骤： 先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， 则该方程式应表示为f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0)即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 例一、方程式为 sin(x)=0 我们知道上式的根有 ，求根方式如下： >> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 r=3.1416 >> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 r = 6.2832 例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： >> x=linspace(-2,3); >> y=humps(x); >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根
r = 1.2995 例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： % m-function, f_1.m function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 y=x.^3-2*x-5; >> x=linspace(-2,3); >> y=f_1(x); >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根
r = 2.0946 >> p=[1 0 -2 -5] >> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 r = 2.0946 -1.0473 + 1.1359i -1.0473 - 1.1359i 2.5 线性代数方程（组）求解 我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 AX=B 其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 如果将原方程式改写成 XA=B 其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： >> A=[3 2-1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 >> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 >> X=A\B % 先以左除运算求解 X = % 注意X为行向量 -2 5 6 >> C=A*X % 验算解是否正确 C = % C=B 10 5 -1 >> A=A'; % 将A先做转置 >> B=[10 5 -1]; >> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 X = % 注意X为列向量 10 5 -1 >> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解 声明：本文转载自赵越微信公众平台 |
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