导数及其应用·易混易错4点 所属专辑：一轮复习高考数学易混易错88点 高考复习讲义数学编辑部  笔记简介 导数及其应用·易混易错4点 易错点 1：求导法则用错致误
(1)函数y= 的导数是 A. B.-sin x C. D. (2)求函数y=ax·x2的导数.  【易错分析】 导数的概念与运算是导数的基础,但往往因为对公式的结构规律或求导法则记忆不正确而出错,如(1)中对商的求导公式的记忆不正确,(2)中将 与 的求导法则相混淆，致结果出错. 【正确解答】 (1) = = , 故选C. (2)y'=(ax·x2)' =ax·ln a·x2+2x·ax =ax(x2ln a+2x). zhuangyuanbiji
导数的运算 基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则是进行导数运算的基础,必须牢记 .另外,要学会逆用运算法则. 导数的运算有很多变形技巧,稍有疏忽就会出错.对有些函数而言,将它们的解析式化简后再求导会极大地简化运算,而有些函数,必须先将它们的解析式变形后才能求其导数,求导时要先观察解析式的特征,尽可能将其化为基本初等函数求导.一般来说,分式函数的求导,要先观察函数的结构特征,看是否可以化为整式函数或较为简单的分式函数;三角函数的求导,先进行化简再求导. 易错题2：导数的几何意义不明致误
已知函数f(x)=x+(t>0)和点P(1,0)，过点P作曲线 的两条切线PM,PN,切点分别为M(x1,y1),N(x2,y2). (1)求证:x1,x2为关于x的方程x2+2tx-t=0的两根; (2)设|MN|=g(t),求函数g(t)的表达式. 【易错分析】 解本题易出现的错误为:(1)不理解导数的几何意义,求错切线方程;(2)不能根据第(1)问的结果寻找合理的方法求解 g(t),在根据两点间的距离公式求出g(t)后,不能正确利用根与系数的关系进行整体代入,导致最后结果出错. 【正确解答】 (1)由题意,可知, 因为 所以切线PM的方程为 又切线PM过点P(1,0), 所以 即+2tx1-t=0.① 同理,由切线PN也过点P(1,0),得+2tx2-t=0.② 由①②,可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根. (2)由(1),知 |MN|= = = , 所以g(t)=(t>0). 利用导数的几何意义求解曲线的切线斜率时,一定要检验已知点是否是曲线上的点,如【典例8】中,虽然点P的坐标是确定的,但该点不是切点,因为t>0,f(1)=1+t≠0,并且函数图像上任意一点处的切线只有一条,而【典例8】中“过点P作曲线的两条切线”,所以点P不是切点. zhuangyuanbiji
导数的几何意义的应用 函数y=f(x)在点x0处导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.关于导数几何意义的常见题型主要有以下三种: 一是已知曲线切线的切点坐标,求切线方程. 这类题通常已知切点的坐标(或横坐标),可根据导数的几何意义直接求出切线的斜率.即先求出函数y=f(x)在点x0处的导数f '(x0),再得切线方程y-f(x0)=f '(x0)(x-x0). 二是已知曲线外一定点,求经过该点的切线方程. 此时要注意“过点A的切线”与“点A处的切线”是不同的.如果已知点不是切点,则在求解时应先设切点为(x0,y0),再根据条件求出切点坐标及切线斜率,最后确定切线方程. 三是已知曲线的切线方程(或斜率),求切点坐标. 由于曲线斜率为某一定值的切线不一定唯一,利用已知直线的斜率求出的切点未必满足已知切线方程,因此应注意将所求切点代入直线(或曲线)方程进行检验. 易错点3：导数与单调性关系运用不当致误
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值是-. (1)求f(x)的解析式; (2)设函数h(x)=ln x-2x+f(x),若函数h(x)在区间[,m-1]上是单调函数,求实数m的取值范围. 【易错分析】 求函数的单调区间就是解导数大于零或小于零的不等式,受此思维定式的影响,容易认为导函数在区间[,m-1]上大于零或小于零,而忽视了导函数在区间[,m-1]上的个别点处可以等于零,这样的点不影响函数的单调性. 【正确解答】 (1)因为二次函数f(x)满足f(0)=f(1)=0,所以其对称轴为x=. 又f(x)的最小值是-, 故f(x)=a(x-)2-. 因为f(0)=0, 所以a=1, 故f(x)=x2-x. (2)因为h(x)=ln x-2x+x2-x=ln x+x2-3x, 所以h'(x)=+2x-3=, 所以h(x)的单调递增区间为(0,]和[1,+∞),单调递减区间为[,1]. 根据题意,得 解得m≤2. 故实数m的取值范围是(,2]. 【典例9】第(2)问中,根据题设条件,知对于区间[,m-1]有m-1>,再结合二次函数y=(2x-1)(x-1)的图像与性质,得出导函数h'(x)在区间[,m-1]上不大于零,或区间[,m-1]是使导函数h'(x)不大于零的集合的子集,对这个结论要弄清楚,不要混淆. 研究函数的单调性与其导函数的关系时,考生要注意以下细节问题:f '(x)<>x∈(a,b))是f(x)在(a,b)上单调递减的充分不必要条件.实际上,可导函数f(x)在(a,b)上为单调递增(减)函数的充要条件为:对于任意x∈(a,b),有f'(x)≥0(f '(x)≤0)且f '(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零. 已知函数的极值求参数时,通常利用函数的导数在极值点处的极值等于零来建立关于参数的方程,但所求得的参数值必须进行检验. zhuangyuanbiji
函数的导函数与其单调性之间的关系 (1)在区间(a,b)上,若f '(x)>0,则f(x)在这个区间上单调递增;若f '(x)<>则f(x)在这个区间上单调递减;若f '(x)=0恒成立,则f(x)在这个区间上为常函数;若f '(x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数.(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 其逆命题不成立，因为f '(x)≥0包括f '(x)>0或f '(x)=0,当f '(x)>0时,函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,当f '(x)=0时,f(x)在这个区间内为常函数;同理,若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f '(x)≤0,其逆命题不成立.(3)使f '(x)=0的离散的点不影响函数的单调性. 易错点4：导数与极值关系运用不当致误
设函数f(x)=ax3-2x2+x+c(a>0). (1)当a=1,且函数图像过(0,1)时,求函数的极小值; (2) 若f(x)在R上无极值点,求a的取值范围 【易错分析】 求出导函数f '(x)的零点,然后判断导函数在零点两侧的函数值符号,若符号相反,则该零点是可导函数f(x)的极值点,若符号相同,则不是极值点. 【正确解答】 由题得f '(x)=3ax2-4x+1. (1)函数图像过(0,1)时,有f(0)=c=1. 当a=1时,f '(x)=3x2-4x+1. 令f '(x)>0,解得x或x>1; 令f '(x)<>解得x<> 所以函数在(-∞,]和[1,+∞)上单调递增,在[,1]上单调递减,极小值是f(1)=13-2×12+1+1=1. (2)若f(x)在R上无极值点,则f '(x)在R上是单调函数,即f '(x)≥0或f '(x)≤0恒成立. ①当a=0时,f '(x)=-4x+1,显然不满足条件; ②当a≠0时,f '(x)≥0或f '(x)≤0恒成立的充要条件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0, 即16-12a≤0,解得a≥. 综上,a的取值范围为[,+∞). 考生应该注意区分极值与最值的概念.函数的极值表示函数在某一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.函数的极值不一定是最值,最值点也不一定是极值点. zhuangyuanbiji
函数的导数和极值点之间的关系 f '(x0)=0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件,从以下三个方面理解函数的导数与极值点的关系:(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是 f '(x0)=0,并且 f '(x)在x0两侧异号,若“左负右正”则x0为极小值点,若“左正右负”则x0为极大值点;(2)函数f(x)在x0处取得极值时,它在这点的导数不一定存在,例如函数y=|x|,结合图像,知它在x=0处有极小值,但它在x=0处的导数不存在;(3)f '(x0)=0既不是函数f(x)在x=x0处取得极值的充分条件也不是必要条件.最后提醒考生一定要注意对极值点进行检验. 感谢你阅读微学笔记！ 这里是您的云端笔记资料库，长图文笔记贴，一页尽览知识点！ 剪辑、粘贴、拼接，轻松三步，即可快速创建自己的私人微笔记！ |
