平面向量·突破题型10例

解法指导

1.利用坐标计算数量积

第一步,欲计算两个向量的数量积,先根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的应用;第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可.

2.根据定义计算数量积

求向量a,b的数量积a·b,有以下两种思路:

(1)若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算.

(2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.

3.根据数量积求参数的值

若已知两平面向量的数量积,则根据坐标公式或定义列出含有参数的方程,再解方程即可.

典例1

已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值是　　　　. 

思路分析

根据给出的向量模长的关系可知△ABC为直角三角形,因此三个角的余弦值都可求出,这样利用向量数量积的定义即可求解.另外,若能从整体上把握题目给定的条件和待求向量式的关系,那么容易想到对++=0两边平方进行求解.

解析　

解法一　如图,根据题意可得△ABC为直角三角形,且B=,cos A=,cos C=,

所以·+·+·

=·+·

=4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A)

=-20cos C-15cos A

=-20×-15×

=-25.

解法二　易知++=0,

将其两边平方可得

+++2(·+·+·)=0,

故·+·+·=-(++)=-25.

点评　解法一直接利用了向量数量积的定义,将所求问题放在一个直角三角形中来求解,求解时注意两向量夹角的选取;解法二抓住了“三向量模的平方和”与“三向量两两数量积的和”之间的关系.相对来说解法二更加简捷,原因就在于解法二从整体上把握了已知与所求之间的关系.

典例 2

(1)在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-16     B.-8       C.8  D.16

(2)已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若a∥b,则a·b等于

A.-10     B.-6       C.0    D.6

 思路分析

(1)在直角三角形中,求出两向量,夹角的余弦值,然后求数量积;

(2)由向量平行求出x的值,然后利用向量数量积的坐标运算求解.

解析　

(1)因为cos A=,所以·=||||cos A=AC²=16.

(2)由a∥b得2x=-4,即x=-2,故a·b=(1,2)·(-2,-4)=-10.

答案　(1)D　(2)A

  解题突破

jietitupo

1.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
2.两向量a,b的数量积a·b与代数中a,b的乘积写法不同,不应该漏掉其中的“·”.