中考数学2016：湖南长沙压轴题

题目：

如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°。

1、求△AOB的周长；

2、设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；

3、当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二次函数L同时满足以下两个条件：

求二次项系数a的值。

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分析：

题目1：

不再赘述分析，直接写过程如下

△AOB的周长为2+√2；

题目2：

如果您所在区域学过三角函数变换（2角和），那么这道题不算复杂，否则计算量将较大。

问：如何求用t表达点P坐标？

答：只能从与P相关的条件去挖掘

• ∠POQ=135°

• P，Q所在直线斜率为－1，即与x轴夹角为135°

所以，我们先把上述关系表述出来，再用t代入（t代表了Q的坐标，大家想想为什么）。有2种思路：

• 利用tan的2角和公式

• 继续挖掘∠POQ=135°

分别赘述如下：

• 利用tan的2角和公式

第一步：利用三角函数找到P、Q坐标关系

注意到题设规定P在第2象限，Q在第4象限，所以有

第二步：用t替代q，进而替代p

这一步，此处有意略去，直接给结果，大家自己多想一想。如下

• 继续挖掘∠POQ=135°

其中，OA、OB都是定值、可求长度的线段（都等于1），我们可以利用任何一个式子求出P的坐标关于t的表达式。下略。

题目3：

问：如何求a值？

答：“翻译”关于a的3个条件，然后看还缺什么条件

• A在L上：第一个关于a的方程（实际上是以a，b，c为未知数的3元1次方程）；

• 6a+3b+2c=0：第二个关于a的方程；

• 在与m相关的特定区间上，L最大值为2/∏：第3个关于a的方程（含未知数m）

如果m值可知，那么3个3元1次方程能够解出a，b，c的值。

问：如何求m值？

答：题设告诉我们tan∠AOQ=m，而tan∠AOQ等于Q的纵坐标与横坐标比值相反数。

问：Q的坐标怎么求？

答：由“△AOQ与△BPO的周长相等”求解。但是，直接求解两个三角形的周长，介个计算量，啧啧。幸好，通过求解题目2已知 “△AOQ与△BPO相似”，并且这两个三角形都是包含一个135°角的钝角三角形，且OA=OB，所以当△AOQ与△BPO的周长相等时，一定有PB=QA。

第一步：求Q的坐标

第二步：求解m的值

第三步：翻译3个条件

注意，我们不知道a的正负，即不知道L的开口方向。在求解L最大值时需要分类讨论。

于是L与x轴的交点为（1，0）和（3，0），对称轴为x=2，顶点为（2，－a）。接下来，我们翻译最后一个条件。

为了便于理解、分析，大家看看草图

如图，由于0＜m＜1，2＜m+2＜3，所以L在规定区间上的最大值如下

• a＞0时，最大值在x=m处取得

• a＜0时，最大值在x=2处取得

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